Стиснений стан

Розподіл стисненого стану в фазовому просторі амплітуда-фаза.

Стисненим когерентним станом у квантовій механіці називають стан, у якому гайзербергова невизначеність має найменше значення. Від канонічних когерентних станів стиснені стани відрізняються тим, що невизначеність окремих змінних у парі канонічно-спряжених неоднакова. Тому в фазовому просторі такий стан зображається не колом, а стискається до еліпса, що є підставою для назви .

Для змінних положення та імпульс, наприклад, мінімальна невизначеність досягається тоді, коли

$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p=\frac{\hslash }{2},$

де $\mathrm{\Delta }x$ — невизначеність положення, $\mathrm{\Delta }p$ — невизначеність імпульсу, а $\hslash$ — зведена стала Планка. У стисненому стані, на відміну від когерентного, $\mathrm{\Delta }x\ne \mathrm{\Delta }p$, де положення та імпульс виражено в природних осциляторних одиницях.

Математичне визначення

Анімація хвильової функції амплітудно стисненого на 2 дБ когерентного стану з α=3.

Загальна хвильова функція, що задовольняє наведену рівність описується стисненим когерентним станом (систему одиниць обрано так, що $\hslash =1$)

$\psi (x)=C\exp (-\frac{(x-x_0{)}^2}{2w_0^2}+i{p}_{0}x)$

де $C,x_0,w_0,p_0$ — відомі сталі (стала нормування, центр хвильового пакету та математичне сподівання імпульсу). Новою рисою щодо когерентного стану є значення ширини $w_0$, що є причиною, чому ці стани називаються стисненими.

Наведений стиснений стан є власним станом лінійного оператора

$\hat{x}+i\hat{p}{w}_0^2,$

а відповідне власне значення дорівнює $x_0+i{p}_0{w}_0^2$. У цьому сенсі, стан є узагальненням водночас основного та когерентного станів.

Операторне представлення

Загальна форма стисненого когерентного стану квантового оператора має вигляд

$|\alpha ,\zeta ⟩=D(\alpha )S(\zeta )|0⟩$

де $|0⟩$ — вакуумний стан, $D(\alpha )$ — оператор зміщення, а $S(\zeta )$ — оператор стиснення, що задається формулою

$D(\alpha )=\exp (\alpha {\hat{a}}^{†}-{\alpha }^{*}\hat{a})$  та $S(\zeta )=\exp \left(\frac{1}{2}({\zeta }^{*}{\hat{a}}^2-\zeta {\hat{a}}^{†2})\right)$

де $\hat{a}$ та ${\hat{a}}^{†}$ — оператори знищення та народження, відповідно. Для квантового гармонічного осцилятора з кутовою частотою $\omega$, ці оператори задаються як

${\hat{a}}^{†}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(x-\frac{ip}{m\omega })$  та $\hat{a}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(x+\frac{ip}{m\omega })$

Коли$\zeta$ дійсне, невизначеність $x$ та $p$ задається формулами

$(\mathrm{\Delta }x{)}^2=\frac{\hslash }{2m\omega }{\mathrm{e}}^{-2\zeta }$  та $(\mathrm{\Delta }p{)}^2=\frac{m\hslash \omega }{2}{\mathrm{e}}^{2\zeta }$

Тому стиснені стани насичують принцип невизначеності Гайзенберга $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p=\frac{\hslash }{2}$, однак невизначеність однієї зі квадратурних змінних зменшена, а іншої — збільшена.

Виноски

Шаблон:Reflist.