Метод скінченних об'ємів

Шаблон:Без виносок Метод скінченних об'ємів (МСО) — це чисельний метод інтегрування систем диференціальних рівнянь з частинними похідними. Аналогічно до методів скінченних різниць і скінченних елементів, використовується сітка. Під скінченним об'ємом мається на увазі невеликий об'єм навколо кожної вузлової точки сітки. У цьому методі інтеграли об'єму, які містять вирази з дивергенцією, перетворюються у поверхневі інтеграли за допомогою формули Остроградського. Потім ці вирази оцінюються як поверхневі потоки кожного скінченного об'єму. Оскільки потік, який входить у даний об'єм, є ідентичним до потоку, який виходить із суміжного об'єму, то ці методи є консервативними. Іншою перевагою МСО є те, що він легко формулюється для неструктурованої сітки.

Цей метод використовується в обчислювальній гідродинаміці при моделюванні задач.

Приклад для одновимірного випадку

Розглянемо просту задачу адвекції

$(1)\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}=0,t\ge 0,$

де $\rho =\rho (x,t)$ — змінна стану, а $f=f(\rho (x,t))$ — постійний рух або потік. Умовно, якщо функція f додатна, то потік рухається праворуч, якщо від'ємна — ліворуч. Нехай рівняння (1) відображає поточне середовище у постійній області, тоді цю область x можна розділити на скінченні об'єми або комірки, i — індекси комірок. Для конкретної комірки i середнє значення об'єму обчислюється як:

$(2){\overline{\rho }}_i(t_1)=\frac{1}{x_{i+\frac{1}{2}}-x_{i-\frac{1}{2}}}\underset{x_{i-\frac{1}{2}}}{\overset{x_{i+\frac{1}{2}}}{\int }}\rho (x,t_1)dx$,

при $t=t_2$

$(3){\overline{\rho }}_i(t_2)=\frac{1}{x_{i+\frac{1}{2}}-x_{i-\frac{1}{2}}}\underset{x_{i-\frac{1}{2}}}{\overset{x_{i+\frac{1}{2}}}{\int }}\rho (x,t_2)dx$,

де $x_{i-\frac{1}{2}}$ та $x_{i+\frac{1}{2}}$.

Проінтегрувавши рівняння (1), отримаємо:

$(4)\rho (x,t_2)=\rho (x,t_1)-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{f}_x(x,t)dt$,

де $f_x=\frac{\partial f}{\partial x}$.

Для отримання середнього значення об'єму $\rho (x,t)$ при $t=t_2$ потрібно проінтегрувати $\rho (x,t_2)$ по об'єму комірки, $[x_{i-\frac{1}{2}},x_{i+\frac{1}{2}}]$, та поділити результат на $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_{i+\frac{1}{2}}-x_{i-\frac{1}{2}}$.

$(5){\overline{\rho }}_i(t_2)=\frac{1}{\mathrm{\Delta }{x}_i}\underset{x_{i-\frac{1}{2}}}{\overset{x_{i+\frac{1}{2}}}{\int }}\{\rho (x,t_1)-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{f}_x(x,t)dt\}dx$.

Припускається, що f добре поводиться, і що можна обернути порядок інтегрування. Також варто нагадати, що потік (Шаблон:Lang-en) перпендикулярний до одиниці площі комірки. Тепер, оскільки в одному вимірюванні $f_x\triangleq \mathrm{\nabla }\cdot f$, то можна застосувати формулу Остроградського, тобто ${\oint }_v\mathrm{\nabla }\cdot fdv={\oint }_{S}fdS$, і замінити об'ємний інтеграл дивергенції значеннями $f(x)$, обчисленими на поверхні комірки (грані $x_{i-\frac{1}{2}}$ і $x_{i+\frac{1}{2}}$) скінченного об'єму наступним чином:

$(6){\overline{\rho }}_i(t_2)={\overline{\rho }}_i(t_1)-\frac{1}{\mathrm{\Delta }{x}_i}(\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{f}_{i+\frac{1}{2}}dt-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{f}_{i-\frac{1}{2}}dt)$,

де $f_{i\pm \frac{1}{2}}=f(x_{i\pm \frac{1}{2}},t)$.

Таким чином отримуємо напівдискретну числову схему для задачі з i-тими комірками та крайовими їх потоками $i\pm \frac{1}{2}$. Після диференціювання (6) отримуємо:

$(7)\frac{d{\overline{\rho }}_i}{dt}+\frac{1}{\mathrm{\Delta }{x}_i}[f_{i+\frac{1}{2}}-f_{i-\frac{1}{2}}]=0$,

де значення крайових потоків $f_{i\pm \frac{1}{2}}$ можуть бути знайдені за допомогою інтерполяції або екстраполяції середніх значень комірок. Формула (7) є точною для середнього значення об'єму.

Також цей метод є застосовним у двовимірному випадку.

Загальний закон збереження

Розглянемо задачу загального закону збереження, подану у вигляді диференціального рівняння з частинними похідними:

$(8)\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐟(𝐮)=\mathrm{𝟎}$,

де $𝐮$ — вектор стану, а $𝐟$ — тензор потоку. Так само ділимо область на скінченні об'єми або комірки. Для конкретної i-тої комірки беремо інтеграл об'єму по всьому об'єму комірки $v_i$:

$(9)\underset{v_i}{\int }\frac{\partial 𝐮}{\partial t}dv+\underset{v_i}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐟(𝐮)dv=\mathrm{𝟎}$.

Проінтегрувавши першу складову для отримання середнього значення об'єму та застосувавши формулу Остроградського до другої складової формули, отримаємо

$(10)v_i\frac{d{\overline{𝐮}}_i}{dt}+{\oint }_{S_i}𝐟(𝐮)\cdot 𝐧dS=\mathrm{𝟎}$,

де $S_i$ — площа поверхні комірки, а $𝐧$ — вектор нормалі. Зрештою можна отримати загальний результат, еквівалентний (8):

$(11)\frac{d{\overline{𝐮}}_i}{dt}+\frac{1}{v_i}{\oint }_{S_i}𝐟(𝐮)\cdot 𝐧dS=\mathrm{𝟎}$.

Значення крайових потоків можуть бути знайдені за допомогою інтерполяції або екстраполяції. Фактично, чисельна схема залежить від принципу побудови сітки.

Консервативність схеми скінченних об'ємів полягає в тому, що середнє значення комірок змінюється через крайові потоки. Іншими словами, втрата однієї комірки призводить до створення нової.

Див. також

• Метод скінченних елементів
• Метод скінченних різниць
• Обчислювальна гідродинаміка
• Рідина
• Формула Остроградського

Посилання

• The finite volume method by R. Eymard, T Gallouët and R. Herbin, update of the article published in Handbook of Numerical Analysis, 2000
• Шаблон:Cite journal, теекст доступний під вільною ліцензією GFDL.
• FiPy: A Finite Volume PDE Solver Using Python from NIST.
• CLAWPACK: a software package designed to compute numerical solutions to hyperbolic partial differential equations using a wave propagation approach
• Кухарський В. М., Савула Я. Г., Головач Н. П. Стабілізація розв'язків задач адвекції-дифузії з великими числами Пекле, отриманих засобами методу скінченних елементів // Моделювання та інформаційні технології. — 2002. — Вип. 15. — С. 3-14. ЛНУ ім. Івана Франка

Джерела

• Eymard, R. Gallouët, T. R. Herbin, R. (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
• LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
• Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.
• Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere.
• Hirsch, C. (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, Wiley.
• Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press.
• LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws, ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
• Tannehill, John C., et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer, 2nd Ed., Taylor and Francis.
• Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer-Verlag.