Форма Маурера — Картана

Форма Маурера — Картана в теорії груп Лі — диференціальна форма визначена на групі Лі, що приймає значення у відповідній алгебрі Лі. Названа начесть німецького математика Людвіга Маурера і французького математика Елі Картана.

Означення

Нехай $G$ — група Лі, $𝔤=T_{e}G$ — відповідна алгебра Лі. Для $g\in G$ визначена функція лівого множення

$L_{g^{-1}}:G\to G$

$L_{g^{-1}}(h):=g^{-1}h$

Її диференціал в точці $g$

$(d{L}_{g^{-1}}{)}_g:T_{g}G\to T_{e}G=𝔤$.

Форма Маурера — Картана $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(G,𝔤)$ за означенням рівна

$\omega (v):=(d{L}_{g^{-1}}{)}_g(v)$

для $v\in T_{g}G,g\in G$.

Рівняння Маурера — Картана

Рівняння Маурера — Картана записується як

$d\omega +\frac{1}{2}[\omega ,\omega ]=0$.

Дужки Лі диференціальних форм зі значеннями в алгебрі Лі за означенням рівні

$[\omega \wedge \eta ](v_1,v_2)=[\omega (v_1),\eta (v_2)]-[\omega (v_2),\eta (v_1)]$

і зовнішня похідна $d\omega$ за означенням рівна

$d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y])$.

Див. також

• Зв'язність на головних розшаруваннях

Література

• Шаблон:Literatur