Теорема Коші — Адамара

Теорема Коші — Адамара — важливий результат в дійсному і комплексному аналізі про радіус збіжності степеневих рядів. Теорема названа на честь Огюстена Коші і Жака Адамара.

Твердження

Нехай маємо деякий степеневий ряд з комплексними коефіцієнтами:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$

і $R$ — його радіус збіжності.

Тоді справедлива формула:

$\frac{1}{R}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}|a_n{|}^{1/n}$

де $\bar{\lim }\mathrm{\backslash limits}$ позначає верхню границю.

Зокрема якщо $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}|a_n{|}^{1/n}=0$ то ряд є збіжним для всіх комплексних чисел, якщо ж $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}|a_n{|}^{1/n}=\mathrm{\infty }$ то ряд є збіжним лише в нулі.

Аналог теореми справедливий і для функцій дійсної змінної.

Доведення

Доведемо, що степеневий ряд $\sum a_n{z}^n$ збігається для $|z|<R$ і розбігається для $|z|>R$. Тут $R$ визначене через границю в твердженні теореми.

Нехай $|z|<R$ і позначимо $t=1/R$ Тоді для довільного $\epsilon >0$, існує лише скінченна підмножина чисел $n$ для яких $\sqrt[n]{|a_n|}\ge t+\epsilon$. Отож $|a_n|\le (t+\epsilon {)}^n$ для всіх $n$ окрім деякої скінченної кількості, тому ряд $\sum a_n{z}^n$ збігається якщо $|z|<1/(t+\epsilon )$.

Навпаки для $\epsilon >0$, $|c_n|\ge (t-\epsilon {)}^n$ для нескінченної кількості $c_n$, тож якщо $|z|=1/(t-\epsilon )>R$, ряд не може збігатися адже його члени не прямують до 0. Дане доведення справедливе як для додатного скінченного радіуса збіжності, так і для нульового і нескінченного.

Див. також

• Верхня і нижня границі
• Степеневий ряд

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр

Посилання

• Шаблон:MathWorld