Єдиність

У математиці та логіці, фраза «є один і тільки один», використовується, щоб вказати, що існує тільки один об'єкт з зазначеною властивістю. У математичній логіці, такий різновид квантору відомий як квантор унікальності або квантор єдиності.

Єдиність часто позначається символами «∃!» або ∃₌₁". Наприклад, формальне твердження

$\mathrm{\exists }!n\in \mathbb{N}(n-2=4)$

можна читати, як «є тільки одне натуральне число n , таке, що n — 2 = 4».

Доказ єдиності

Найбільш поширений метод доведення єдиності існування, наступний: спершу довести існування суб'єкта з потрібною властивістю; далі припускають, що існують два об'єкти (скажімо, A і B ) з такою властивістю, потім логічно виводиться їх рівність, тобто  a = b.

Наведемо простий приклад з середньої школи. Щоб показати x + 2 = 5 має рівно одне рішення, спочатку покажемо, що існує принаймні одне рішення, а саме: 3; доказ цієї частини відбувається обчисленням

$3+2=5.$

Тепер припустимо, що існують два рішення, а саме a і b, які задовольняють рівняння x + 2 = 5. Таким чином

$a+2=5\text{ та }b+2=5.$

За транзитивності рівності,

$a+2=b+2.$

Скорочуємо на 2:

$a=b.$

Цей простий приклад показує, як доводиться єдиність. Кінцевим результатом є рівність двох величин, що задовольняють умові.

Як існування, так і єдиність повинні бути доведені, щоб зробити висновок, що існує рівно одне рішення.

Альтернативний спосіб довести унікальність полягає в доказі існування значення $a$ ,що задовольняють умові, а потім довести, що для всіх $x$, умова $x$ означає $x=a$.

Зведення до звичайних кванторів існування та загальності

Єдність може бути виражено в термінах кванторів існування та загальності логіки першого порядку, визначивши формулу ∃!x P(x) яка буквально означає,

$\mathrm{\exists }x(P(x)\wedge \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }y(P(y)\wedge y\ne x))$

яка є такою ж, як

$\mathrm{\exists }x(P(x)\wedge \mathrm{\forall }y(P(y)\to y=x)).$

Еквівалентне визначення, що має силу відокремлювати поняття існування і єдиності у два пункти, за рахунок стислості

$\mathrm{\exists }xP(x)\wedge \mathrm{\forall }y\mathrm{\forall }z((P(y)\wedge P(z))\to y=z).$

Інше, більш лаконічне еквівалентне визначення

$\mathrm{\exists }x\mathrm{\forall }y(P(y)\leftrightarrow y=x).$

Узагальнення

Одним з узагальнень єдиності є Шаблон:Нп. Він включає в себе обидва квантори виду «існує рівно k об'єктів таких, що …», а також «існує нескінченно багато об'єктів таких, що …» і «існує лише скінченне число об'єктів таких, що …». Перша з цих форм виражається за допомогою звичайних кванторів, але останні два не можуть бути виражені у звичайній логіці першого порядку.

Єдиність залежить від поняття відношення рівності. Якщо ослабити його до якогось грубішого відношення еквівалентності, дає кількісну оцінку єдиності з точністю до тієї еквівалентності (в рамках цієї структури, регулярна унікальність є «унікальність до рівності»). Наприклад, багато понять у теорії категорій визначаються як єдині з точністю до ізоморфізму.

Див. також

• Унітарний код
• Синґлетон (математика)

Посилання

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book