Підкатегорія

В теорії категорій, підкатегорією категорії $𝔄$ називається категорія $𝔅$, об'єкти якої є також об'єктами $𝔄$ і морфізми якої є також морфізмами в $𝔄$, з тими ж тотожними морфізмами і правилами композиції. Інтуїтивно, підкатегорія $𝔄$ одержується з $𝔄$ видаленням деяких об'єктів і морфізмів.

Формальне визначення

Нехай $𝔄$ - категорія. Підкатегорія $𝔅$ категорії $𝔄$ задається за допомогою

• Підкласу об'єктів $𝔄$, що позначається $Ob(𝔅)$:

$Ob(𝔅)\subset Ob(𝔄)$

• Підкласу морфізмів $Mor(𝔄)$, що позначаються $Mor(𝔅)$ і для довільних об'єктів $A,B\in Ob(𝔅)$:

$Mor(A,B{)}_{𝔅}\subset Mor(A,B{)}_{𝔄}$

• Кожен тотожний морфізм в категорії $𝔅$ є також тотожним морфізмом в категорії $𝔄$;
• Для кожного морфізма в $Mor(𝔅)$, його прообраз і образ належать $Ob(𝔅)$;
• Для кожної пари морфізмів f , g $f,g\in Mor(𝔅)$, таких що $f\in Mor(A,B{)}_{𝔅},g\in Mor(B,C{)}_{𝔅}$ їх композиція $f\circ g$ визначається композицією цих морфізмів в категорії $𝔄$

З цих умов випливає, що $𝔅$ теж є категорією. Існує очевидний строгий функтор $I:𝔅\to 𝔄$ , що називається функтором вкладення.

Види підкатегорій

Підкатегорія $𝔅$ називається повною підкатегорією категорії $𝔄$, якщо для будь-якої пари об'єктів $A,B\in Ob(𝔅)$:

$Mor(A,B{)}_{𝔅}=Mor(A,B{)}_{𝔄}$

Підкатегорія $𝔅$ називається називається замкнутою щодо ізоморфізмів, якщо будь-який ізоморфізм, $f\in Mor(A,B{)}_{𝔄},$ такий що B належить $𝔅$, також належить $𝔅$. Замкнута щодо ізоморфізмів повна категорія називається строго повною.

Підкатегорія категорії $𝔄$ називається широкою, якщо вона містить усі об'єкти $𝔄$. Зокрема, єдиною широкою повною категорією категорії $𝔄$ є сама категорія $𝔄$.

Приклади

• Категорія скінченних множин є повною підкатегорією категорії множин Set.
• Категорія, об'єктами якої є множини, а морфізмами — бієкції, є неповною підкатегорією категорії множин Set.
• Категорія Ab комутативних груп є повною категорією категорії груп Gr.
• Категорія кілець з одиницею (морфізми якої є гомоморфізмами, що зберігають одиниці) є неповною підкатегорією категорії кілець.

Див. Також

• Теорія категорій

Література

• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.