Диференціювання (алгебра)

В алгебрі диференціювання — операція, що узагальнює властивості різних класичних похідних і дозволяє ввести диференційно-геометричні ідеї в алгебраїчну геометрію. Спершу поняття було введено для дослідження інтегрованості в елементарних функціях алгебраїчними методами.

Визначення

Нехай $A$ — алгебра над кільцем $R$. Диференціюванням алгебри $A$ називається $R$-лінійне відображення $\partial :A\to A$, що задовольняє правилу добутку:

$\partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)$

Більш загально диференціюванням комутативної алгебри $A$ із значеннями в $A$-модулі $M$ називається $R$-лінійне відображення $\partial :A\to M$, що задовольняє правилу добутку. В цьому випадку $M$ називають диференційним модулем над $A.$ Множина всіх диференціювань із значеннями в $M$ позначається $\mathrm{D}(M)$ ($\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(M)$, ${\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}}_R(A,M)$) і є $A$-модулем.

Властивості

• На $\mathrm{D}(A)$ можна природно ввести структуру алгебр Лі: ${\mathrm{D}}_1,{\mathrm{D}}_2\in \mathrm{D}(A)⟹[{\mathrm{D}}_1,{\mathrm{D}}_2]={\mathrm{D}}_1\circ {\mathrm{D}}_2-{\mathrm{D}}_2\circ {\mathrm{D}}_1\in \mathrm{D}(A)$
• Якщо Шаблон:Nowrap, тоді методом математичної індукції:

$D(x_1{x}_2\cdots x_n)=\sum _i{x}_1\cdots x_{i-1}D(x_i)x_{i+1}\cdots x_n=\sum _{i}D(x_i)\prod _{j\ne i}{x}_j$

(остання рівність справедлива, якщо для всіх $i,D(x_i)$ комутує з $x_1,x_2,\cdots ,x_{i-1}$).

• Зокрема якщо A є комутативною і Шаблон:Nowrap, то Шаблон:Nowrap.
• Якщо алгебра A має одиничний елемент 1, то Шаблон:Nowrap оскільки Шаблон:Nowrap. Крім того оскільки D є K-лінійною, для всіх Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap.
• Якщо Шаблон:Nowrap є підкільцем, і A є k-алгеброю, тоді справедливим є включення

${\mathrm{Der}}_K(A,M)\subset {\mathrm{Der}}_k(A,M),$

Градуйоване диференціювання

Нехай $A$ — $\mathbb{Z}$-градуйована алгебра, градуювання елемента $a\in A$ позначимо $|a|$. Правильним аналогом диференціювань в цьому випадку є градуйовані дифференціювання, породжені однорідними відображеннями $\mathrm{D}:A\to A$ степеня $|\mathrm{D}|$, що задовільняють градуйованим тотожностям ($\epsilon =\pm 1$):

$\mathrm{D}(ab)=(\mathrm{D}a)b+{\epsilon }^{|a||\mathrm{D}|}a(\mathrm{D}b)$

Якщо $\epsilon =1$, то градуийовані диференціювання рівні звичайним. Якщо $\epsilon =-1$, то їх зазвичай називають супердиференціюваннями. Супердиференціювання утворюють супералгебру Лі відносно суперкомутатора

$[{\mathrm{D}}_1,{\mathrm{D}}_2]={\mathrm{D}}_1\circ {\mathrm{D}}_2-(-1{)}^{|{\mathrm{D}}_1||{\mathrm{D}}_2|}{\mathrm{D}}_2\circ {\mathrm{D}}_1$

Прикладами супердиференціювань є внутрішнє і зовнішнє диференціювання на кільці диференціальних форм.

Література

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.

Див. також

• Диференціальна алгебра