Теорема котангенсів

Трикутник загального виду

Шаблон:RefimproveУ тригонометрії, теорема котангенсів пов'язує радіус кола, вписаного у трикутник, з довжиною його сторін. Теорему котангенсів зручно використовувати при розв'язуванні трикутника за трьома сторонами.

Нехай $a$, $b$ і $c$ — довжини трьох сторін трикутника, $\alpha ,\beta$ і Шаблон:Nobr кути, що лежать навпроти, відповідно, сторін $a$, $b$ і $c$ відповідно.

Теорема котангенсів стверджує, що якщо

$r=\sqrt{\frac{1}{p}(p-a)(p-b)(p-c)}$ (радіус кола, вписаного у трикутник) і

$p=\frac{a+b+c}{2}$ (півпериметр трикутника),

то справедливі наступні формули:

$\mathrm{ctg}\frac{A}{2}=\frac{p-a}{r},$

$\mathrm{ctg}\frac{B}{2}=\frac{p-b}{r},$

$\mathrm{ctg}\frac{C}{2}=\frac{p-c}{r},$

звідки слідує, що

$\frac{p-a}{\mathrm{ctg}\frac{A}{2}}=\frac{p-b}{\mathrm{ctg}\frac{B}{2}}=\frac{p-c}{\mathrm{ctg}\frac{C}{2}}=r$.

Словами теорему можна сформулювати так: котангенс половинного кута дорівнює відношенню півпериметра мінус довжина протилежної сторони вказаного кута до радіуса вписаного кола.

У сферичній тригонометрії існує схожа формула для половини кута, а також двоїста до неї Шаблон:Нп.

Див. також

• Розв'язування трикутників
• Теорема синусів
• Теорема косинусів
• Теорема тангенсів