Формула Брамагупти

Фо́рмула Брамагу́пти (Шаблон:Lang-en) — математична формула, яка виражає площу вписаного у коло чотирикутника як функцію довжин його сторін.

Шаблон:Рамка Якщо вписаний у коло чотирикутник має довжини сторін $a,b,c,d$ і півпериметр $p=\frac{a+b+c+d}{2}$, то його площа $S$ виражається формулою:

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$

Шаблон:Hider

Варіації й узагальнення

• Формула Брамагупти узагальнює формулу Герона для визначення площі трикутника на випадок вписаного у коло чотирикутника: достатньо вважати, що довжина однієї із сторін дорівнює нулю (наприклад, $d=0$) і формула Брамагупти зводиться до формули Герона.
• На випадок довільних чотирикутників формула Брамагупти може бути узагальнена так:

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd{\cos }^2\theta },$

де $\theta$ — півсума протилежних кутів чотирикутника. Яку саме пару протилежних кутів взяти, ролі не відіграє, так як якщо півсума однієї пари протилежних кутів дорівнює $\theta$, то півсума двох інших кутів буде $180^{\circ }-\theta$, і ${\cos }^2(180^{\circ }-\theta )={\cos }^2\theta .$.

Інколи цю загальнішу формулу записують так:

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)}$,

де $u$ и $v$ — довжини діагоналей чотирикутника.

• Математик Девід П. Роббінс (Шаблон:Lang-en) довів, що для довільного вписаного многокутника з $n$ сторонами величина $(4S{)}^2$ є коренем деякого многочлена $P$, коефіцієнти якого у свою чергу є многочленами від довжин сторін. Він знайшов ці многочлени для $n=5$ та $n=6$. Іншими авторами встановлено, що многочлен $P$ можна обрати так, щоб його старший коефіцієнт дорівнював одиниці, а степінь $N=N(n)$ дорівнював ${\mathrm{\Delta }}_k$, при $n=2k+1$ і $2{\mathrm{\Delta }}_k$, якщо $n=2k+2$. Тут

${\mathrm{\Delta }}_k=\frac{2k+1}{2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})-2^{2k-1}=\sum _{j=0}^{k-1}(k-j)(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k+1}{j}),$

де $(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})=\frac{k!}{j!(k-j)!}$ — біноміальні коефіцієнти. Для многокутників з невеликим числом сторін маємо ${\mathrm{\Delta }}_1=1$, ${\mathrm{\Delta }}_2=7$, ${\mathrm{\Delta }}_3=38$, ${\mathrm{\Delta }}_4=187,\dots$ (Шаблон:OEIS) і $N(4)=2$, $N(5)=7$, $N(6)=14$, $N(7)=38,\dots$ (Шаблон:OEIS).

• Якщо у формулі Брамагупти виразити півпериметр через півсуму усіх сторін даного чотирикутника, піднести обидві частини до квадрату, помножити на -16, розкрити дужки та звести подібні, то вона набуде вигляду:

$-16S^2=a^4+b^4+c^4+d^4-2(a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2+a^2{d}^2+b^2{d}^2+c^2{d}^2)-8abcd$

• Права частина рівняння буде збігатись з розкладом визначника, поданого нижче, якщо його помножити на -1. Тому можна написати, що

$16S^2=-\left|\begin{array}{cccc}a& b& c& -d\\ b& a& -d& c\\ c& -d& a& b\\ -d& c& b& a\end{array}\right|$

Див. також

• Брамагупта
• Теорема Брамагупти

Джерела

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Cite journal