Зовнівписане коло

Зовнівписане коло трикутника — коло, яке дотикається до сторони трикутника та продовження двох інших його сторін .

Будь-який трикутник має три зовнівписані кола з центрами $I_{A}$ , $I_{B}$ , $I_{C}$ , які дотикаються до сторін $a$ , $b$ , $c$ відповідно. Радіуси цих кіл позначають $r_{a}$ , $r_{b}$ , $r_{c}$ відповідно.

Властивості

Центр $I_{A}$ зовнівписаного кола є точкою перетину бісектриси кута $∠ A$ та двох бісектрис зовнішніх кутів з вершинами $B$ і $C$ трикутника $A B C$ .
Нехай точки $T$ та $F$ — точки дотику зовнівписаного кола з центром $I_{A}$ до продовжень сторін $A B$ та $A C$ трикутника $A B C$ . Тоді $A T = A F = p = \frac{a + b + c}{2}$ .

Доведення.

За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки,

A T = A F

. За цією ж властивістю маємо, що

B K = B F

та

C T = C K

, де

K

— точка дотику цього кола до сторони

B C

. Тоді

A T + A F = A C + C T + A B + B F = A C + C K + A B + B K = A C + A B + B C = a + b + c = P_{A B C}

. Оскільки

A T = A F

, то кожен з цих відрізків рівний половині їх суми, тобто

A T = A F = p = \frac{a + b + c}{2}

.

З попередньої властивості легко випливає, що $B K = p - c$ та $C K = p - b$ .
$r_{a} = \frac{S}{p - a}$ , $r_{b} = \frac{S}{p - b}$ , $r_{c} = \frac{S}{p - c}$ , де $S$ — площа трикутника $A B C$ , а $p = \frac{a + b + c}{2}$ .

Доведення.Нехай

K

— точка дотику зовнівписаного кола з центром

I_{A}

до сторони

B C

трикутника

A B C

. Тоді

S_{A B C} = S_{A B I_{A}} + S_{A C I_{A}} - S_{B C I_{A}} = \frac{1}{2} A B \cdot r_{a} + \frac{1}{2} A C \cdot r_{a} - \frac{1}{2} B C \cdot r_{a} = \frac{1}{2} r_{a} (b + c - a) = r_{a} (p - a)

. Звідси

r_{a} = \frac{S}{p - a}

. Аналогічно можна легко отримати, що

r_{b} = \frac{S}{p - b}

та

r_{c} = \frac{S}{p - c}

.

$S = \frac{r_{a} r_{b} r_{c}}{p}$ .

Доведення.

З попередньої властивості маємо, що

S = r_{a} (p - a) = r_{b} (p - b) = r_{c} (p - c)

. Звідси

S^{3} = r_{a} r_{b} r_{c} (p - a) (p - b) (p - c) = \frac{r_{a} r_{b} r_{c} S^{2}}{p}

(за формулою Герона), а тому

S = \frac{r_{a} r_{b} r_{c}}{p}

.

$S = \sqrt{r r_{a} r_{b} r_{c}}$ .

Доведення.

З попередньої властивості,

S = \frac{r_{a} r_{b} r_{c}}{p} = \frac{r r_{a} r_{b} r_{c}}{r p} = \frac{r r_{a} r_{b} r_{c}}{S}

, звідки

S^{2} = r r_{a} r_{b} r_{c}

, а тому

S = \sqrt{r r_{a} r_{b} r_{c}}

.

$\frac{1}{r} = \frac{1}{r_{a}} + \frac{1}{r_{b}} + \frac{1}{r_{c}}$ .

Доведення.

Розпишемо:

p = 3 p - 2 p = 3 p - (a + b + c) = (p - a) + (p - b) + (p - c)

. З того, що

r_{a} = \frac{S}{p - a}

(одна з попередніх властивостей), маємо

p - a = \frac{S}{r_{a}}

. Аналогічно

p - b = \frac{S}{r_{b}}

та

p - c = \frac{S}{r_{c}}

. Також справедлива формула

p = \frac{S}{r}

, оскільки

S = r p

. Замінивши компоненти в першій рівності, одержимо

\frac{S}{r} = \frac{S}{r_{a}} + \frac{S}{r_{b}} + \frac{S}{r_{c}}

. Скоротивши обидві частини останньої рівності на ненульовий множник

S

, отримаємо остаточно

\frac{1}{r} = \frac{1}{r_{a}} + \frac{1}{r_{b}} + \frac{1}{r_{c}}

.

Нехай $I$ — центр вписаного кола, $I_{A}$ — центр зовнівписаного кола. Тоді описане навколо трикутника $A B C$ коло ділить відрізок $I I_{A}$ навпіл. Іншими словами, якщо $W$ — точка перетину бісектриси кута $∠ A$ та описаного кола трикутника $A B C$ , то $I W = W I_{A}$ (Лема Мансіона, частина теореми про трилисник (тризуб)).

Див. також

Література

Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — 592 с.: ил. ISBN 978-5-4439-0058-2
Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Геометрія: підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням математики. — Х.: Гімназія, 2009. — 240 с. ISBN 978-966-474-012-5

Зовнівписане коло

Властивості

Див. також

Література

Навігаційне меню

Пошук