Ізогональне спряження

Точки $P$ та $P^{*}$ ізогонально спряжені

Перетворення над точками всередині трикутника

Ізогональне спря́ження — геометричне перетворення, що отримується відображенням прямих, поєднуючих початкові точки з вершинами заданого трикутника відносно бісектрис кутів трикутника.

Означення

Точки $P$ і $P^{*}$ називаються ізогонально спряженими (застаріла назва — ізогональними) в трикутнику $\mathrm{△}ABC$, якщо $\mathrm{\angle }ABP=\mathrm{\angle }CB{P}^{*}$, $\mathrm{\angle }BAP=\mathrm{\angle }CA{P}^{*}$, $\mathrm{\angle }BCP=\mathrm{\angle }AC{P}^{*}$. Коректність цього означення можна довести через теорему Чеви в синусній формі, існує також чисто геометричне доведення коректності означення. Ізогональне спряження — перетворення, що ставить точці у відповідність ізогонально спряжену до неї. На всій площині окрім прямих, що містять сторони трикутника, ізогональне спряження є взаємно-однозначним відображенням.

Властивості

• Ізогональне спряження залишає на місці лише центри вписаного і зовнівписаних кіл.
• Точка, ізогонально спряжена точці на описаному колі — нескінченно віддалена. Напрямок, який задає ця точка, перпендикулярний прямій Сімсона цієї точки.
• Якщо точки $P_a$, $P_b$, $P_c$ симетричні точці $P$ відносно сторін трикутника, то центр описаного кола $P_a{P}_b{P}_c$ ізогонально спряжений до точки $P$.
• Якщо в трикутник вписаний еліпс, то його фокуси ізогонально спряжені.
• Проєкції ізогонально спряжених точок на сторони лежать на одному колі (вірно і зворотне). Центр цього кола — середина відрізка між точками.
• Образ прямої при ізогональному спряженні — коніка, описана навколо трикутника.
• Якщо коніка $\alpha$ ізогонально спряжена до прямої $l$, то Шаблон:Нп всіх точок на $\alpha$ будуть проходити через точку, ізогонально спряжену трилінійному полюсу $l$.

Пари ізогонально спряжених точок

• Центр описаного кола та ортоцентр.
• Точка перетину медіан та точка Лемуана.
• Точки Брокара
• Точка Аполлонія та точка Ферма.

Координатний запис

В барицентричних координатах ізогональне спряження записується так:

$(x:y:z)\mapsto (\frac{a^2}{x}:\frac{b^2}{y}:\frac{c^2}{z})$,

де $a$, $b$, $c$ — довжини сторін трикутника. В трилінійних координатах його запис має форму:

$(x:y:z)\mapsto (\frac{1}{x}:\frac{1}{y}:\frac{1}{z})$,

тому вони зручні при роботі з ізогональним спряженням.

Див. також

• Ізотомічне спряження

Наслідки

• З ізогонального спряження можна вивести теорему Паскаля.