Дифеоморфізм

Дифеоморфі́зм — взаємно однозначне і неперервно диференційовне відображення $f:M\to N$ гладкого многовиду $M$ в гладкий многовид $N$, обернене до якого теж є неперервно диференційовним. Зазвичай під гладкістю розуміють $C^{\mathrm{\infty }}$ — гладкість, проте таким же чином можуть бути визначені дифеоморфізми з іншим типом гладкості, наприклад $C^k$ при будь-кому $k\in \mathbb{N}$.

Пов'язані визначення

Якщо для $M$ та $N$ існує дифеоморфізм, то говорять, що $M$ й $N$ дифеоморфні. Множина дифеоморфізмів многовиду $M$ у собі утворює групу, що позначається $\mathrm{Diff}M$.

Приклади

• Нехай $f(x,y)=(x^2+y^3,x^2-y^3)$. Матриця Якобі цього відображення дорівнює:

$J_f=\left(\begin{array}{cc}2x& 3y^2\\ 2x& -3y^2\end{array}\right).$

Її визначник дорівнює нулю тоді і тільки тоді коли $xy=0$. Тобто f є дифеоморфізмом за межами x-осі і y-осі.

Література

• Пришляк О.О.. Диференціальна геометрія : Курс лекцій. – К.: Видавничо-поліграфічний центр «Київський університет», 2004. – 68 с.
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — Москва: Мир, 1972. — 280 с.
• Ф.Уорнер Основы теории гладких многообразий и групп — Москва: Мир, 1987. — 302 с.