Рівняння Стейнхарта — Харта

Рівняння Стейнхарта—Харта (Шаблон:Lang-en) — модель, що описує електричний опір напівпровідника при різних температурах. Рівняння має вигляд:

$\frac{1}{T}=A+B\ln (R)+C[\ln (R){]}^3$

де:

• $T$ — абсолютна температура (у Кельвінах),
• $R$ — опір при температурі T (Ом),
• $A$, $B$, $C$ — коефіцієнти Стейнхарта—Харта, які варіюються залежно від типу і моделі термістора і від діапазону температур.

Найбільш загальний вигляд цього рівняння містить також терм $[\ln (R){]}^2$, але ним часто нехтують, оскільки він, як правило, має набагато менше значення, ніж інші коефіцієнти рівняння. Тому в рівнянні вище цей терм не показано.

Використання

Рівняння найчастіше використовується для отримання точних значень температури термісторів (терморезисторів), оскільки воно забезпечує більш точне наближення до фактичної температури, ніж простіші (лінійні) рівняння, а тому працює у всьому діапазоні робочих температур термодатчика. Коефіцієнти Стейнхарта-Харта зазвичай можна знайти в даташитах, що надаються виробниками термісторів.

Якщо ці коефіцієнти не доступні, їх можна отримати шляхом вимірювання опору при трьох точних значеннях температури з подальшим розв'язанням системи з трьох рівнянь.

Зворотне рівняння

Для знаходження опору напівпровідника при заданій температурі використовується зворотне рівняння Стейнхарта—Харта:

$R=\exp (\sqrt[3]{y-\frac{x}{2}}-\sqrt[3]{y+\frac{x}{2}}),$

де:

$\begin{array}{cc}x& =\frac{1}{C}(A-\frac{1}{T}),\\ y& =\sqrt{{\left(\frac{B}{3C}\right)}^3+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}.\end{array}$

Коефіцієнти Стейнхарта—Харта

Для знаходження коефіцієнтів рівняння, необхідно знати три робочі точки, а саме три значення опору термістора при трьох відомих температурах.

$\left[\begin{array}{ccc}1& \ln \left(R_1\right)& \ln {\left(R_1\right)}^3\\ 1& \ln \left(R_2\right)& \ln {\left(R_2\right)}^3\\ 1& \ln \left(R_3\right)& \ln {\left(R_3\right)}^3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}A\\ B\\ C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{T_1}\\ \frac{1}{T_2}\\ \frac{1}{T_3}\end{array}\right]$

Знаючи значення опорів $R_1$, $R_2$, $R_3$ при температурах $T_1$, $T_2$, $T_3$, можна виразити $A$, $B$, $C$:

$\begin{array}{cc}{L}_1& =\ln \left(R_1\right),L_2=\ln \left(R_2\right),L_3=\ln \left(R_3\right)\\ Y_1& =\frac{1}{T_1},Y_2=\frac{1}{T_2},Y_3=\frac{1}{T_3}\\ {\gamma }_2& =\frac{Y_2-Y_1}{L_2-L_1},{\gamma }_3=\frac{Y_3-Y_1}{L_3-L_1}\\ \Rightarrow C& =\left(\frac{{\gamma }_3-{\gamma }_2}{L_3-L_2}\right){(L_1+L_2+L_3)}^{-1}\\ \Rightarrow B& ={\gamma }_2-C(L_1^2+L_1{L}_2+L_2^2)\\ \Rightarrow A& =Y_1-(B+L_1^{2}C)L_1\end{array}$

Розробники рівняння

Рівняння названо на честь двох його розробників, Джона С. Стейнхарта і Стенлі Р. Харта, які опублікували знайдену ними залежність у 1968 році. Професор Стейнхарт (1929–2003), співробітник Американського геофізичного союзу та Американської асоціації сприяння розвитку науки, був членом факультету Університету Вісконсін-Медісон з 1969 по 1991 роки. Доктор Харт, старший науковий співробітник Шаблон:Нп з 1989 року і співробітник Геологічного товариства Америки, Американського геофізичного союзу, Шаблон:Нп, Шаблон:Нп.)

Див. також

• Термістор

Посилання

• Онлайн-калькулятор для знаходження розв'язку рівняння за заданими коефіцієнтами Шаблон:Ref-en