Задача про поширення тепла в ізотропному твердому тілі

Фізична інтерпретація задачі

Ізотропне тіло — тіло, властивості якого однакові в усіх напрямках.

Нехай $U(x,t)$ — температура тіла в точці $x$ в момент часу $t$. Якщо різні частини тіла знаходяться при різній температурі, то в тілі виникають теплові потоки і рух тепла відбувається від більш нагрітих частин тіла до менш нагрітих.

Рівняння поширення тепла в твердому ізотропному тілі

Згідно із законом Фур'є кількість теплоти $\mathrm{\Delta }Q$, що проходить через елемент поверхні $\mathrm{\Delta }S$ за час $\mathrm{\Delta }t$ в напрямку нормалі $\overrightarrow{n}$ виражається формулою:

$\mathrm{\Delta }Q=-k\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{n}}\mathrm{\Delta }S\mathrm{\Delta }t,$ 

де $k>0$ — коефіцієнт теплопровідності. Коефіцієнт $k$ характеризує здатність тіла проводити тепло. Оскільки тіло ізотропне, $k$ не залежить від напрямку нормалі, то $k(x)=k$.

$q_n=-k\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{n}}$ — кількість тепла, яка проходить через одиницю поверхні за одиницю часу,

$q_n$ — тепловий потік в напрямку нормалі.

$\overrightarrow{q}=-k\overrightarrow{grad}(U),\overrightarrow{q}$ — вектор теплового потоку, який вказує те, що тепло поширюється в напрямку найбільшого спадання температур.

За наслідком закону збереження енергії або частинним випадком першого закону термодинаміки: $\mathrm{\Delta }U=Q$ — зміна внутрішньої енергії системи дорівнює кількості переданого їй тепла, при цьому

$\mathrm{\Delta }U=cm\mathrm{\Delta }t$ — кількість тепла, яку необхідно надати тілу масою $m$ з питомою теплоємністю $c$, щоб підняти його температуру на $\mathrm{\Delta }U$ градусів: $\mathrm{\Delta }U=U(x,t_2)-U(x,t_1),0\le t_1<t_2$ .

$\mathrm{\Delta }U=cm\mathrm{\Delta }t$ — рівняння теплового балансу для довільного об'єму G, обмеженого поверхнею S протягом часу $(t_1;t_2)$. Тепло в область G може потрапляти двома шляхами:

• Через поверхню S від іншої частини тіла, тоді кількість тепла: $Q_1=-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\underset{S}{\int }k\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{n}}ds=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\underset{G}{\int }div(\overrightarrow{grad}(U))d\tau ,$

де $d\tau$ — елементарний об'єм, $\overrightarrow{n}$ — внутрішня нормаль області G.

• Тепло може виділятися в області за рахунок дії теплових джерел:

$Q_2=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\underset{G}{\int }f(x,t)d\tau ,$ де $f(x,t)$— об'ємна густина джерел — кількість тепла, яка виділяється або поглинається в одиниці об'єму за одиницю часу.

Тоді $Q_1+Q_2$ — надходження тепла в область $G$.

За рахунок надходження тепла в область $G$ температура його точок підвищується на величину $4U$ за проміжок часу $(t_1;t_2).$ За формулою кількості тепла:

$Q_3=cm\mathrm{\Delta }U=\underset{G}{\int }c\rho [U(x,t_2)-U(x,t_1)]d\tau =\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\int \rho c\frac{\partial U}{\partial t}d\tau .$

З рівняння теплового балансу $Q_1+Q_2=Q_3$ маємо: $\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\underset{G}{\int }div(\overrightarrow{grad}(U))d\tau +\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\underset{G}{\int }f(x,t)d\tau =\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\int \rho c\frac{\partial U}{\partial t}d\tau$

$\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\underset{G}{\int }(div(\overrightarrow{grad}(U))+f(x,t)-\rho c\frac{\partial U}{\partial t})d\tau =0$

Тоді рівняння поширення тепла в твердому ізотропному тілі: $\rho c\frac{\partial U}{\partial t}=div(\overrightarrow{grad}(U))+f(x,t)$

Якщо тіло однорідне, то всі характеристики сталі: $k=const,\rho =const,c=const,$ тоді $\frac{\partial U}{\partial t}=a^2\mathrm{\Delta }U+\frac{f}{\rho c},$ де $a^2=\frac{k}{\rho c}$ — коефіцієнт теплопровідності.

Інший вигляд цього рівняння: $\mathrm{\Delta }U-\frac{1}{a_2}\frac{\partial U}{\partial t}=-\frac{f}{k}$

Частинні випадки рівняння

Якщо тепловий потік стаціонарний, тобто температура не змінюється з часом, тоді:

$\mathrm{\Delta }U=-\frac{f}{k}$ — рівняння Пуассона.

Якщо при цьому відсутні теплові джерела, то $f=0$ і

$\mathrm{\Delta }U=0$ — рівняння Лапласа.

Крайові та початкові умови для рівняння

Для однозначного опису процесу поширення тепла необхідно задати тепловий режим на початку процесу (початкові умови) й умови теплообміну на межі області (крайові умови).

Початкова умова задає розподіл температури в момент часу $t=0$: $U(x,0)=\varphi (x)$

Крайова умова задається на межі області $\mathrm{\Omega }-\partial \mathrm{\Omega }$.

Крайова умова може задаватися такими способами:

1. $U{|}_{x\in \partial \mathrm{\Omega }}=W(x),$ якщо межа тіла $\partial \mathrm{\Omega }$ має сталу температуру.
2. $\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{n}}{|}_{x\in \partial \mathrm{\Omega }}=\frac{q(t)}{k},$ якщо всередину тіла через його поверхню надходить заданий тепловий потік $q(t)$. Частинний випадок, якщо $q(t)=0$, то $\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{n}}{|}_{x\in \partial \mathrm{\Omega }}=0.$
3. Випадок, коли на межі області відбувається теплообмін з навколишнім середовищем заданої температури:

$(\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{n}}+h(U-U_0)){|}_{x\in \partial \mathrm{\Omega }}=\frac{q(t)}{k},$ , де $U_0$ - температура навколишнього середовища; $\alpha$ - коефіцієнт зовнішньої теплопровідності; $q$ -кількість тепла, яка проходить через область одиничної площі за одиницю часу.

Постановка задачі про поширення тепла в ізотропному твердому тілі

Таким чином, задача про поширення тепла в ізотропному твердому тілі полягає у знаходженні розв'язку рівняння теплопровідності $\rho c\frac{\partial U}{\partial t}=div(\overrightarrow{grad}(U))+f(x,t)$, який задовольняє початкову умову $U(x,0)=\varphi (x)$ і одну з крайових умов $U{|}_{x\in \partial \mathrm{\Omega }}=W(x),\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{n}}{|}_{x\in \partial \mathrm{\Omega }}=\frac{q(t)}{k}$ або $(\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{n}}+h(U-U_0)){|}_{x\in \partial \mathrm{\Omega }}=\frac{q(t)}{k}.$