Циркулянтний граф

Граф Пелі 13-о порядку як приклад циркулянтного графа.

Корона з шістьма, вісьмома, і десятьма вершинами.

В теорії графів циркулянтним графом називається неорієнтований граф, який має циклічну групу симетрій, яка включає симетрію, при якій граф переводить вершину в будь-яку іншу вершину.

Еквівалентні визначення

Циркулянтні графи можуть бути визначені кількома еквівалентними способами:

• Автоморфізм групи графа містить циклічну підгрупу, яка діє транзитивно на вершини графа.
• Граф має матрицю суміжності, що є циркулянтною матрицею.
• $n$ вершин графа можна пронумерувати числами від 0 до Шаблон:Math таким чином, що якщо дві вершини з номерами $x$ та $y$ суміжні, то будь-які дві вершини з номерами $z$ і Шаблон:Math теж суміжні.
• Граф можна намалювати (з можливими перетинами ребер) так, що його вершини лежать в кутах правильного багатокутника та будь-який поворот багатокутника в себе є симетрією малюнка (отримуємо той же малюнок).

Приклади

Будь-який цикл є циркулянтним графом, як і будь-яка корона.

Графи Пелі порядку $n$ (де $n$ — просте число, порівнянне з 1 по модулю 4) — це графи, в яких вершини є числами від 0 до Шаблон:Math і дві вершини суміжні, якщо різниця відповідних чисел є квадратичним відрахуванням по модулю $n$. Внаслідок того, що присутність або відсутність ребра залежить лише від різниці номерів вершин по модулю $n$, будь-який граф Пелі є циркулянтним графом.

Будь-які драбини Мебіуса є циркулянтним графом, як і будь-який повний граф. Повний двочастковий граф є циркулянтним, якщо обидві його частини мають однакову кількість вершин.

Якщо два числа $m$ та $n$ взаємно прості, то Шаблон:Math туровий граф (граф, що має вершину в кожній клітині шахової дошки Шаблон:Math та ребра між будь-якими двома клітинами, якщо тура може перейти з однієї клітини на іншу за один хід) є циркулянтним графом. Це є наслідком того, що його симетрії містять як підгрупу циклічну групу Шаблон:Math. Як узагальнення цього випадку, декартів добуток графів між будь-якими циркулянтними графами з $m$ та $n$ вершинами дає внаслідок циркулянтний граф.

Багато з відомих нижніх меж чисел Ремзі з'являються з прикладів циркулянтних графів, що мають маленькі максимальні кліки та маленькі максимальні незалежні множини.

Конкретний приклад

Циркулянтний граф $C_n^{s_1,\dots ,s_k}$ з межами $s_1,\dots ,s_k$ визначається як граф з $n$ вузлами, пронумерованими числами $0,1,\dots ,n-1$ та кожний вузел $i$ суміжний з 2k вузлами $i\pm s_1,\dots ,i\pm s_k$ по модулю $n$.

• Граф $C_n^{s_1,\dots ,s_k}$ пов'язаний тоді і лише тоді, коли НСД$(n,s_1,\dots ,s_k)=1$.

• Якщо $1\le s_1<\cdots <s_k$ фіксовані цілі, то число остовних дерев $t(C_n^{s_1,\dots ,s_k})=n{a}_n^2$, де $a_n$ задовольняє рекурентне співвідношення порядку $2^{s_k-1}$.
• Зокрема, $t(C_n^{1,2})=n{F}_n^2$, де $F_n$ — n-е число Фібоначчі.

Самодоповняльні циркулянти

Шаблон:Див. також Самодоповняльний граф — це граф, в якому видалення наявних ребер та додавання відсутніх дає граф, ізоморфний вихідному. Наприклад, циклічний граф з п'ятьма вершинами самодоповняльний і є також циркулянтним. У більш загальному вигляді, будь-який граф Пелі є самодоповняльним циркулянтним графом. Шаблон:Нп показав, що якщо число $n$ має властивість, що будь-який простий дільник $n$ порівнюваний з 1 по модулю 4, то існує самодоповняльний циркулянтний граф з $n$ вершинами. Він висловив гіпотезу, що ця умова необхідна, тобто при інших значеннях $n$ самодоповняльні циркулянтні графи не існують. Гіпотезу через 40 років довів Вілфред (Vilfred).

Гіпотеза Адамса

Визначимо циркулянтну нумерацію циркулянтних графів як маркування вершин графа числами від 0 до Шаблон:Math таким чином, що якщо дві вершини $x$ та $y$ суміжні, то будь-які дві вершини з номерами $z$ і Шаблон:Math теж суміжні. Еквівалентно, циркулянтна нумерація — це нумерація вершин, при якій матриця суміжності графа є циркулянтною матрицею.

Нехай $a$ — ціле, взаємно просте з $n$, і нехай $b$ — будь-яке ціле число. Тоді лінійна функція Шаблон:Math перетворить циркулянтну нумерацію в іншу циркулянтну нумерацію. Андраш Адам (András Ádám) висловив гіпотезу, що лінійне відображення — єдиний спосіб перенумерації вершин графа, що зберігає властивість циркулянтності. Тобто, якщо $G$ та $H$ — два ізоморфних циркулянтних графи з різною нумерацією, то існує лінійне перетворення, що переводить нумерацію для $G$ в нумерацію для $H$. Однак, як з'ясувалося, гіпотеза Адама не вірна. Контрприкладом служать графи $G$ та $H$ з 16-тьма вершинами в кожному; вершина $x$ в $G$ з'єднана з шістьма сусідами Шаблон:Math, Шаблон:Math, і Шаблон:Math (по модулю 16), в той час як в $H$ шість сусідів — це Шаблон:Math, Шаблон:Math, і Шаблон:Math (по модулю 16). Ці два графи ізоморфні, але їх ізоморфізм не можна отримати за допомогою лінійного перетворення.

Посилання

• Шаблон:Mathworld