Числа Армстронга

Самозакохане число (Шаблон:Lang-en), або число Армстронга — натуральне число, яке в даній системі числення дорівнює сумі своїх цифр, піднесених до степеня, що дорівнює кількості його цифр. Іноді щоб вважати число таким, достатньо, щоб степені, до яких підносяться цифри, були рівні m — тоді число можна назвати m-самозакоханим $407 = 4^{3} + 0^{3} + 7^{3}$ .

Наприклад, десяткове число 153 — число Армстронга, тому що:

1³ + 5³ + 3³ = 153

Формальне визначення

Нехай $n = \sum_{i = 1}^{k} d_{i} b^{i - 1}$ — число, що записується $d_{k} d_{k - 1} . . . d_{1}$ в системі числення з основою b.

Якщо при деякому m трапиться так, що $n = \sum_{i = 1}^{k} {d_{i}}^{m}$ , то n є m-самозакоханим числом. Якщо, понад те, $m = k$ , то n можна назвати справжнім числом Армстронга.

Очевидно, що при будь-якому m може існувати лише скінченне число m-самозакоханих чисел, оскільки, починаючи з деякого k $k \cdot 9^{k} < 1 0^{k - 1} - 1$ .

Згадки в літературі

У «Шаблон:Не перекладено» (Шаблон:Lang-en), Ґ. Гарді писав:

«Є лише чотири числа, крім одиниці, які дорівнюють сумі кубів своїх цифр:
$153 = 1^{3} + 5^{3} + 3^{3}$
$370 = 3^{3} + 7^{3} + 0^{3}$
$371 = 3^{3} + 7^{3} + 1^{3}$
і $407 = 4^{3} + 0^{3} + 7^{3}$ .

Це незвичайний факт дуже зручний для головоломних розділів у газетах і для розваги зацікавлених, але в ньому немає нічого, що б приваблювало до нього математиків»