Зворотне рівняння

Алгебраїчні рівняння виду:

$a_0{x}^{2n+1}+a_1{x}^{2n}+a_2{x}^{2n-1}+...+a_n{x}^{n+1}+\lambda a_n{x}^n+{\lambda }^3{a}_{n-1}{x}^{n-1}+...+{\lambda }^{2n-1}{a}_{1}x+{\lambda }^{2n+1}{a}_0=0,(1)$

$a_0{x}^{2n}+a_1{x}^{2n-1}+a_2{x}^{2n-2}+...+a_{n-1}{x}^{n+1}+a_n{x}^n+\lambda a_{n-1}{x}^{n-1}+{\lambda }^2{a}_{n-2}{x}^{n-2}+...+{\lambda }^{n-1}{a}_{1}x+{\lambda }^n{a}_0=0(2)$

називаються зворотними, де $\lambda$ — фіксоване число і $a_0\ne 0$. При $\lambda =1$ такі рівняння називають симетричними.

Розв'язання

Зворотне рівняння непарного степеня (1) завжди має корінь $x=-\lambda$, оскільки це рівняння завжди можна переписати у вигляді

$a_0(x^{2n+1}+{\lambda }^{2n+1})+a_{1}x(x^{2n-1}+{\lambda }^{2n-1})+...+a_{n-1}{x}^{n-1}(x^3+{\lambda }^3)+a_n{x}^n(x+\lambda )=0$.

Після ділення лівої частини на $x+\lambda$ отримаємо зворотне рівняння парного степеня.

Для розв'язку рівняння парного степеня поділимо (2) на $x^n$, оскільки $x=0$ не є його коренем, і згрупувавши члени отримаємо:

$a_0(x^n+{\left(\frac{\lambda }{x}\right)}^n)+a_1(x^{n-1}+{\left(\frac{\lambda }{x}\right)}^{n-1})+...+a_{n-1}(x+\frac{\lambda }{x})+a_n=0(3)$.

Зробимо заміну $t=x+\frac{\lambda }{x}$, після чого отримаємо наступні вирази:

$x^2+{\left(\frac{\lambda }{x}\right)}^2=t^2-2\lambda ,$

$x^3+{\left(\frac{\lambda }{x}\right)}^3={(x+\frac{\lambda }{x})}^3-3\lambda (x+\frac{\lambda }{x})=t^3-3\lambda t,$

$x^4+{\left(\frac{\lambda }{x}\right)}^4={(x+\frac{\lambda }{x})}^4-4\lambda (x^2+\frac{{\lambda }^2}{x^2})-6{\lambda }^2=t^4-4\lambda t^2+2{\lambda }^2,$

і т. д., тоді рівняння (3) степеня $2n$ відносно $x$ запишемо у вигляді рівняння степеня $n$ відносно $t$. Тепер якщо вдасться розв'язати отримане рівняння, то знайдуться всі корені рівняння (2).

Див. також

• Біквадратне рівняння

Джерела

• The Fundamental Theorem for Palindromic PolynomialsШаблон:Ref-en на MathPages