Фундаментальна матриця (лінійні диференціальні рівняння)

Шаблон:Диференціальні рівняння Фундаментальна матриця системи n однорідних звичайних диференціальних рівнянь

$\dot{𝐱}(t)=A(t)𝐱(t)$

це матрична функція $\mathrm{\Psi }(t)$ чиї стовпчики є лінійно незалежними розв'язками системи.

Тоді загальний розв'язок системи можна записати як $𝐱=\mathrm{\Psi }(t)𝐜$, де $𝐜$ вектор сталих.

Матрична функція $\mathrm{\Psi }$ є фундаментальною матрицею для $\dot{𝐱}(t)=A(t)𝐱(t)$ тоді і тільки тоді, коли

1. $\dot{\mathrm{\Psi }}(t)=A(t)\mathrm{\Psi }(t)$ і
2. $\mathrm{\Psi }$ несингулярна для всіх $t$.

Нормалізована фундаментальна матриця

Унікальна матриця $\widetilde{{\mathrm{\Psi }}_{t_0}(t)}$, що задовольняє умові

${\tilde{\mathrm{\Psi }}}_{t_0}^{\text{'}}=A{\tilde{\mathrm{\Psi }}}_{t_0},{\tilde{\mathrm{\Psi }}}_{t_0}^{\text{'}}(t_0)=\mathrm{I}$

називається нормалізована фундаментальна матриця в $t_0$ для $A.$

Оскільки змінна $t$ зазвичай позначає час, то зручно нормалізувати в точці $t_0=0,$ що дозволяє швидко знайти розв'язок для задача Коші із заданими в нульовий час умовами. Так якщо $𝐱(0)={𝐱}_0,$ то розв'язком буде ${\tilde{\mathrm{\Psi }}}_0{𝐱}_0.$

Обчислити матрицю можна так ${\tilde{\mathrm{\Psi }}}_{t_0}(t)=\mathrm{\Psi }(t)\mathrm{\Psi }(t_0{)}^{-1}.$

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць