Теорема Паппа

Теорема Паппа

Теорема Паппа — це класична теорема проєктивної геометрії. Вона формулюється наступним чином:

Шаблон:Рамка Нехай A, B, C — три точки на одній прямій, A' , B' , C'  — три точки на іншій прямій. Нехай три прямі АВ' , BC' , CA' перетинають три прямі A'B, B'C, C'A, відповідно у точках X, Y, Z. Тоді точки X, Y, Z лежать на одній прямій. Шаблон:/рамка

Нескладно бачити, що двоїсте формулювання до теореми Паппа є лише переформулюванням самої теореми.

Шаблон:Рамка Нехай прямі $a_1,a_2,a_3$ проходять через точку A, ${a_1}^{\prime },{a_2}^{\prime },{a_3}^{\prime }$ проходять через точку A'. $a_1$ перетинає ${a_2}^{\prime }$ та ${a_3}^{\prime }$ в точках B і C, $a_2$ перетинає ${a_1}^{\prime }$ та ${a_3}^{\prime }$ в точках C' і Z, $a_3$ перетинає ${a_1}^{\prime }$ та ${a_2}^{\prime }$ в точках B' і X. Тоді прямі BC', B'C та XZ перетинаються в одній точці (на кресленні — Y) або паралельні. Шаблон:/рамка

Теорема Паппа є виродженим випадком в теоремі Паскаля: якщо замінити в теоремі Паскаля вписаний у конічний перетин шестикутник на вписаний у пару прямих, які перетинаються, то вона стане еквівалентною теоремі Паппа. Сам Паскаль вважав пару прямих конічним перетином (тобто вважав теорему Паппа окремим випадком своєї теореми).

Історія

Формулювання і доведення цієї теореми містяться в «Математичному зібранні» Паппа Олександрійського (початок IV століття н. е.). У Новий час теорема була опублікована видавцем і коментатором робіт Паппа Федеріко Коммандіно у 1566 році.

Доведення

Якщо відвести на нескінченність пряму XY, то теорема переходить в нескладне твердження про паралельність прямих, найпростіше доказуване з використанням гомотетії:

Шаблон:Рамка Нехай A, B, C — три точки на одній прямій, A' , B' , C'  — три точки на інший прямий, при цьому AB' паралельно A'B, а BC' паралельно B'C. Тоді A'C паралельно AC'. Шаблон:/рамка

Посилання

• Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Шаблон:Webarchive Глава IV, § 5.3.

Див. також

• Теорема Паппа про площі
• Теорема Паскаля