Кутовий коефіцієнт

Кутовий коефіцієнт:$k=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\mathrm{t}\mathrm{g}\theta$

Кутовий коефіцієнт прямої — коефіцієнт $k$ у рівнянні прямої $y=kx+b$ на координатній площині, чисельно дорівнює тангенсу кута (що становить найменший поворот від осі Ox до осі Оу) між позитивним напрямом осі абсцис і даної прямою лінією.

Тангенс кута можна розраховувати як співвідношення протилежного катета до прилеглого. Кутовий коефіцієнт k завжди дорівнює $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$, тобто похідній рівняння прямої по х.

Кутовий коефіцієнт не існує (або «прямує до нескінченності») у прямих, що паралельні осі Oy.

За позитивних значень кутового коефіцієнта k і нульового значення коефіцієнта зсуву b пряма лежатиме у першому й третьому квадрантах (у яких x та y одночасно є позитивні й негативні). Водночас великим значенням кутового коефіцієнта k будуть відповідні крутіші прямі, а меншим — пологіші.

Прямі $y=k_{1}x+b_1$ і $y=k_{2}x+b_2$ є перпендикулярними, коли $k_1{k}_2=-1$, а паралельні за $k_1=k_2$.

Визначення

Позначимо кутовий коефіцієнт прямої або нахил в системі координат, що містить осі x і y, літерою m, і визначимо як зміну координат відносно y осі по відношенню до зміни координат x, між двома відмінними точками прямої. Задамо це наступним рівнянням:

$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\text{зміна}\text{по вертикалі}}{\text{зміна}\text{по горизонталі}}.$

(Грецька літера дельта, Δ, використовується в математиці для позначення «різниці» або «зміни».)

Для заданих двох точок (x₁,y₁) і (x₂,y₂), зміна координат x дорівнює Шаблон:Nowrap (по горизонталі), а зміна по y буде Шаблон:Nowrap (по вертикалі). Підставивши це в вищенаведене рівняння отримаємо формулу:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$

Формула не буде працювати для вертикальних прямих, таких що паралельні осі y (див. ділення на нуль), тоді кутовим коефіцієнт приймають за нескінченність, тобто нахил вертикальної лінії вважають невизначеним.

Приклади

Нехай є пряма, яка проходить крізь точки: P = (1, 2) і Q = (13, 8). Розділивши різницю y-координат на різницю x-координат, можна отримати кутовий коефіцієнт нахилу прямої:

$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8-2}{13-1}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

Оскільки коефіцієнт є додатнім, нахил такий, що пряма зростає. Оскільки |m|<1, зростання не круте.

Інший приклад, розглянемо пряму, що проходить крізь точки (4, 15) і (3, 21). Тоді, кутовий коефіцієнт прямої дорівнює

$m=\frac{21-15}{3-4}=\frac{6}{-1}=-6.$

Оскільки коефіцієнт від'ємний, напрям прямої є спадним. Оскільки |m|>1, цей спад дуже крутий (спад >45°).

Нахил дороги чи залізничних колій

Шаблон:Main Існує два способи обрахунку нахилу шляху чи залізничної дороги. Перший це задати його за допомогою кута в діапазоні значень між 0° і 90° (в градусах), і інший спосіб задати нахил у процентах.

Формули для розрахунку для перерахунку нахилу в процентах у кут в градусах і навпаки, наведені нижче:

$\text{кут}=\arctan \left(\frac{\text{нахил}}{100\mathrm{\%}}\right)$, (це обернена функція тангенса; див тригонометричні функції): і

$\text{нахил}=100\mathrm{\%}\cdot \tan (\text{кут}),$

де кут в градусах і тригонометрична функція також розраховується в градусах. Наприклад, нахил в 100% або 1000‰ буде дорівнювати куту в 45°.

Третім методом можна задати нахил за допомогою співвідношення до горизонтальної міри, наприклад 10, 20, 50 або 100, тобто 1:10. 1:20, 1:50 або 1:100 (або «1 до 10», «1 до 20» і т. д.) В даному прикладі 1:10 є більш крутим нахилом ніж 1:20. Наприклад, нахил в 20 % означатиме 1:5 або кут в 11,3°.

В дорожніх знаках різних країн можуть використовуватися різного типу позначення.

• 
  Попереджувальний знак в Нідерландах
• 
  Попереджувальний знак крутої дороги в Польщі
• 
  Ділянка залізничного шляху довжиною в 1371 метри із нахилом в 20‰. Чехія
• 
  Залізничний Стовп-покажчик часів існування паровозів, що показує нахил в обох напрямках на Шаблон:Нп, Велика Британія

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Cite web Шаблон:Ref-en