Інтегрувальний множник

Шаблон:Диференціальні рівняння Інтегрувальний множник (Шаблон:Lang-en) — функція, за допомогою якої спрощують розв'язування певного рівняння із диференціалами. Інтегрувальний множник часто використовують для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь, але також використовується в аналізі функцій багатьох змінних, де множення на такий множник дозволяє неточний диференціал перевести в точний (який вже можна інтегрувати для отримання скалярного поля). Це особливо корисно в термодинаміці, де температура стає інтегрувальним множником, який робить ентропію точним диференціалом.

Використання для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь

Інтегрувальні множники стають у пригоді під час ров'язання звичайних диференціальних рівнянь, які можна записати в формі

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$

Ідея полягає у віднайдені деякої функції $M(x)$, яка зветься "інтегрувальний множник," на яку ми можемо помножити наше диференціальне рівняння з тим, щоб отримати ліворуч похідну. Для лінійного диференціального рівняння в канонічній формі як наведено вище, інтегрувальний множник буде

$M(x)=e^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}$

І множення на $M(x)$ дає

$y^{\prime }{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}+P(x)y{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}=Q(x)e^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}$

Використовуючи правило добутку в зворотньому напрямку, ми бачимо, що лівий бік рівняння можна виразити як одну похідну по $x$

$y^{\prime }{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}+P(x)y{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}=\frac{d}{dx}(y{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds})$

Ми використовуємо цей факт, щоб спростити вираз до

$\frac{d}{dx}(y{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds})=Q(x)e^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}$

Тоді ми інтегруємо обидва боки по $x$, спочатку через перейменування $x$ у $t$, отримуємо

$y{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}=\underset{t_0}{\overset{x}{\int }}Q(t)e^{\underset{s_0}{\overset{t}{\int }}P(s)ds}dt+C$

Насамкінець, ми можемо перенести показникову функцію праворуч для отримання загального розв'язку:

$y=e^{-\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}\underset{t_0}{\overset{x}{\int }}Q(t)e^{\underset{s_0}{\overset{t}{\int }}P(s)ds}dt+C{e}^{-\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}$

У випадку однорідного диференціального рівняння, коли $Q(x)=0$, ми отримуємо

$y=\frac{C}{e^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}}$

де $C$ є сталою.

Приклад

Розв'яжемо диференціальне рівняння

$y^{\prime }-\frac{2y}{x}=0.$

Можна побачити, що в цьому випадку $P(x)=\frac{-2}{x}$

$M(x)=e^{\int P(x)dx}$

$M(x)=e^{\int \frac{-2}{x}dx}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}$ (Зауважте, що ми не мусимо включати сталу інтегрування - нам потрібен лише розв'язок, а не загальний розв'язок)

$M(x)=\frac{1}{x^2}.$

Множимо на $M(x)$ і отримуємо

$\frac{y^{\prime }}{x^2}-\frac{2y}{x^3}=0$

$\frac{y^{\prime }{x}^3-2x^{2}y}{x^5}=0$

$\frac{x(y^{\prime }{x}^2-2xy)}{x^5}=0$

$\frac{y^{\prime }{x}^2-2xy}{x^4}=0.$

Згадуємо як брати похідну від дробу і робимо це у зворотньому напрямку

$\left(\frac{y}{x^2}\right)=0$

або

$\frac{y}{x^2}=C$

що нам дає

$y\left(x\right)=C{x}^2.$