Формула Лейбніца для визначників

Формула Лейбніца виражає визна́чник квадратної матриці

A = (a_{i j})_{i, j = 1, \dots, n}

через перестановки елементів матриці. Для n×n матриці формула така

\det (A) = \sum_{τ \in S_{n}} sgn (τ) \prod_{i = 1}^{n} a_{i, τ (i)} = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \prod_{i = 1}^{n} a_{σ (i), i},

де sgn — парність перестановки у групі перестановок S_n, яка повертає +1 і −1 для парних і непарних, відповідно.

Інший поширений запис цієї формули із використанням символу Леві-Чивіти і нотації Ейнштейна

\det (A) = ϵ^{i_{1} \dots i_{n}} a_{1 i_{1}} \dots a_{n i_{n}},

може бути більш знайомим для фізиків.

Пряме обчислення формули Лейбніца з означення потребує $Ω (n! \cdot n)$ дій, тобто кількість операцій асимптотично пропорційна до n факторіал — бо n! це число перестановок порядку n. Це непрактично складно для великих n. Натомість, визначник можна обчислити за O(n³) дій, використовуючи LU розклад матриці $A = L U$ (зазвичай через метод Гауса або подібний), в цьому випадку $\det A = (\det L) (\det U)$ а визначники трикутних матриць L і U є просто добутками їх діагональних елементів. (Однак, у практичному застосуванні чисельної лінійної алгебри, явний розрахунок визначника необхідний рідко.)

Джерела

Формула Лейбніца для визначників

Джерела

Навігаційне меню

Пошук