Телескопічний ряд

Телескопічний ряд в математиці — нескінченний ряд, суму якого можна легко знайти, виходячи з того, що при розкритті дужок майже всі доданки взаємознищуються. Назва була дана по аналогії зі стволом телескопа, який може зменшувати свою довжину, склавшись кілька разів.

Найвідоміший приклад такого ряду — сума $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}$, яка спрощується наступним чином:

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\\ & =(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots =\\ & =1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3})+\cdots =1.\end{array}$

Суть телескопічних сум полягає в тому, що кожен доданок ряду представдяється у вигляді різниці і тому часткова сума ряду спрощується:

$\sum _{i=1}^n(a_i-a_{i+1})=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\cdots +(a_{n-1}-a_n)+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}$.

Аналогічно можна уявити собі «телескопічний» добуток, тобто нескінченний добуток вигляду:

$\prod _{i=1}^n\frac{a_{i+1}}{a_i}=\frac{a_2}{a_1}\cdot \frac{a_3}{a_2}\cdot \frac{a_4}{a_3}\cdots \frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_{n+1}}{a_1}$.

При сумуванні умовно збіжних нескінченних рядів потрібно звертати увагу на те, що перегрупування доданків може призвести до зміни результату (див. Теорема Рімана про умовно збіжний ряд). Наприклад, «парадокс» з рядом Гранді:

$0=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}0=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-1)=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1+1)=1$

Цього можна уникнути, якщо завжди розглядати суму перших n членів, а потім знаходити границю при $n\to \mathrm{\infty }$.

Приклади

Багато тригонометричних функцій дозволяють представлення у вигляді різниці, що дозволяє організувати взаємознищення відповідних доданків

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^N\sin \left(n\right)& =\sum _{n=1}^N\frac{1}{2}\mathrm{cosec}\left(\frac{1}{2}\right)(2\sin \left(\frac{1}{2}\right)\sin \left(n\right))=\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{cosec}\left(\frac{1}{2}\right)\sum _{n=1}^N(\cos \left(\frac{2n-1}{2}\right)-\cos \left(\frac{2n+1}{2}\right))=\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{cosec}\left(\frac{1}{2}\right)(\cos \left(\frac{1}{2}\right)-\cos \left(\frac{2N+1}{2}\right)).\end{array}$

• часткова сума геометричної прогресії:

$(x-1)\sum _{k=0}^n{x}^k=\sum _{k=0}^n(x^{k+1}-x^k)=x^{n+1}-1.$

• іноді доводиться застосовувати «телескопічне» перетворення два рази:

$\begin{array}{cc}(x-1{)}^2\sum _{k=1}^{n}k{x}^{k-1}& =\sum _{k=1}^n(k{x}^{k+1}-2k{x}^k+k{x}^{k-1})=\\ & =\sum _{k=1}^n[k{x}^{k+1}-(k-1)x^k]-\sum _{k=1}^n[(k+1)x^k-k{x}^{k-1}]=n{x}^{n+1}-(n+1)x^n+1\end{array}$.

Другий метод обчислення цієї суми — представити доданки у вигляді похідної від геометричної прогресії:

$\sum _{k=1}^{n}k{x}^{k-1}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sum _{k=0}^n{x}^k=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=\frac{(n+1)x^n(x-1)-(x^{n+1}-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{n{x}^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1{)}^2}$.

Див. також

• Порядкова статистика
• Пуассонівський процес
• Розподіл Пуассона
• Функція маси імовірності