Прямокутний тетраедр

Прямокутний тетраедр — це чотиригранник у якого всі ребра, прилеглі до однієї з вершин, перпендикулярні між собою.

У прямокутному тетраедрі завжди три прилеглі грані будуть прямокутними трикутниками, а остання грань буде довільним трикутником і називається базою.

Формули

У прямокутного тетраедра з перпендикулярними гранями $a, b, c$ та вершиною в точці перетину перпендикулярних ребер (прямокутний тригранний кут):

$V = \frac{1}{6} a b c$ (об'єм тетраедра);
$S = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2}}$ (площа основи тетраедра); Носить назву теореми де Гуа.
$h = \frac{a b c}{2 S};$ $\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$ (висота тетраедра, проведена з вершини прямокутного тригранного кута на основу, де $S$ — це площа основи тетраедра);
$R = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ (радіус сфери описаної навколо тетраедра);
$r = \frac{a b + b c + a c - \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}}}{2 (a + b + c)}$ (радіус сфери, вписаної в тетраедр);
$m = \frac{2}{3} R;$ $m = \frac{1}{3} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ (медіана, проведена з вершини прямокутного тригранного кута, де R це — радіус сфери описаної навколо тетраедра);

Шаблон:Main Нехай площа основи $T_{0}$ і площи прямокутних граней відповідно $T_{1}$ , $T_{2}$ і $T_{3}$ , тоді

T_{0}^{2} = T_{1}^{2} + T_{2}^{2} + T_{3}^{2} .

Це є узагальненням теореми Піфагора на випадок тетраедра.