Компактифікація

Компактифіка́ція — операція в загальній топології, яка перетворює довільні топологічні простори у компактні.

Формально компактифікація простору $X$ визначається як пара $(Y,f)$, де $Y$ — компактний простір, $f:X\to Y$ — гомеоморфізм на свій образ $f(X)$ і $f(X)$ — щільний у $Y$.

На компактифікаціях деякого фіксованого простору $X$ можна визначити частковий порядок. Покладемо $f_1⩽f_2$ для двох компактифікацій $f_1:X\to Y_1$, $f_2:X\to Y_2$, якщо існує неперервне відображення $g:Y_2\to Y_1$ таке, що $g{f}_2=f_1$. Максимальний (із точністю до гомеоморфізму) елемент за цього порядку називається компактифікацією Стоуна — Чеха і позначається $\beta X$. Для того, щоб у просторі $X$ існувала компактифікація Стоуна — Чеха, яка задовольняла б аксіомі віддільності Хаусдорфа, необхідно і достатньо, щоб $X$ задовольняв аксіомі віддільності $T_{3\frac{1}{2}}$, тобто був цілком регулярним.

Одноточкова компактифікація (або компактифікація Александрова) побудована наступним чином. Нехай $Y=X\cup \{\mathrm{\infty }\}$ і відкритими множинами в $Y$ вважаються всі відкриті множини $X$, а також множини вигляду $O\cup \{\mathrm{\infty }\}$, де $O\subseteq X$ має компактне (у $X$) доповнення. $f$ береться як природне вкладення $X$ в $Y$. Тоді $(Y,f)$ — компактифікація, причому $Y$ гаусдорфів тоді і тільки тоді, коли $X$ — гаусдорфів і локально компактний.

Приклади одноточкової компактифікації

Шаблон:Головна $ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ з топологією, побудованою як зазначено вище, є компактним простором. Якщо два простори гомеоморфні, то й відповідні одноточкові компактифікації гомеоморфніШаблон:Джерело?. Зокрема, так як коло на площині без однієї точки гомеоморфне з $ℝ$ (приклад гомеоморфізму — стереографічна проєкція), усе коло гомеоморфне з $ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$. Аналогічно, ${ℝ}^n\cup \{\mathrm{\infty }\}$ гомеоморфне з $n$-вимірною гіперсферою.

Див. також

• Проєктивна геометрія