Компактифікація Стоуна — Чеха

Компактифікація Стоуна — Чеха (також стоун-чехівська або чех-стоунова компактифікація) — максимальна компактифікація цілком регулярного топологічного простору.

Компактифікація Стоуна — Чеха простору $X$ зазвичай позначається як $\beta X$.

Конструкція

Позначимо через $A$ множину всіх неперервних функцій $\alpha :X\to [0,1]$. Можна перевірити, що відображення $F:X\to [0,1{]}^A$ (тихонівський куб), визначене рівністю

$x\mapsto (\alpha (x){)}_{\alpha \in A}$,

є гомеоморфізмом $X$ на свій образ $F(X)\subset [0,1{]}^A$. Замикання $F(X)$ у $[0,1{]}^A$ і буде шуканою компактифікацією.

Властивості

• Будь-яка неперервна функція $f:X\to I=[0,1]$ продовжується до неперервної функції $\tilde{f}:\beta X\to I$.
• Будь-яке неперервне відображення $f:X\to Y$ у компактний гаусдорфів простір $Y$ продовжується до неперервного відображення $\tilde{f}:\beta X\to Y$.

Історія

Конструкцію компактифікації вперше розглянув Андрій Миколайович Тихонов 1930 р. 1937 року її чітко описали Маршалл Стоун й Едуард Чех.

Посилання

• Шаблон:Публікація