Рівняння Дена — Сомервіля

Рівняння Дена — Сомервіля повний набір лінійних співвідношень на кількість граней різних розмірностей у простого многогранника.

Формулювання

Для даного простого $n$-вимірного многогранника $P$ позначимо через $f_k$ кількість граней $P$ розмірності $k$, зокрема $f_n=1$. Розглянемо формальну суму

$\sum _k{f}_k\cdot (t-1{)}^k=\sum _k{h}_k\cdot t^k$

тоді рівняння Дена — Сомервіля мають вигляд

$h_k=h_{n-k}$

для кожного цілого $k$.

Зв'язані означення

• Послідовність $(f_0,f_1,\dots ,f_n)$ називається f-вектор многогранника.
• Послідовність $(h_0,h_1,\dots ,h_n)$ називається h-вектор многогранника.

Історія

У розмірностях 4 і 5, співвідношення були описані Деном. В загальному випадку рівняння були описані Сомервілем в 1927.