Жорсткість (геометрія)

Жорсткість — властивість підмноговиду $M$ у евклідовому просторі (або, загальніше, у просторі сталої кривини), полягає в тому, що будь-яка його ізометрична варіація (нескінченно мале вигинання) є тривіальною, тобто відповідне їй поле швидкостей на $M$ індукується полем Кіллінга на $M$. Питання про жорсткість підмноговидів — це є власне питання про єдиність розв'язку системи диференціальних рівнянь, що є лінеаризацією системи рівнянь для ізометричних згинань підмноговиду. Зокрема, якщо підмноговид допускає нетривіальне ізометричне вигинання, то він не є жорстким.

Приклади

• Замкнена строго опукла поверхня — жорстка (Вільгельм Бляшке, 1912 рік).
• Тор — жорсткий.
• Шматок площині із закріпленим краєм — нежорсткий.
• Сферичний сегмент $S$, дотичний краєм по площині, буде жорстким чи ні в залежності від того, менше або більше $S$ півсфери.
• Метричний добуток $k$ двовимірних сфер $S^2\subset {ℝ}^3$ є жорстким у евклідовому просторі ${ℝ}^{3k}$ і нежорстким у ${ℝ}^{3k+1}$.

Варіації

Поняття жорсткості переносится також на багатогранники, див. теорема Коші про багатогранники.