Псевдогрупа перетворень

Псевдогрупа перетворень гладкого многовида $M$ — сімейство дифеоморфізмів відкритих підмножин многовида $M$ у $M$, замкнуте відносно композиції відображень, переходу до оберненого відображення, а також звуження та склейки відображень.

Точне означення

Псевдогрупа перетворень $\mathrm{\Gamma }$ многовида $M$ складається з локальних перетворень, тобто пар виду $p=(D_p,\overline{p})$, де $D_p$ — відкрита підмножина в $M$, а $\overline{p}$ — дифеоморфізм $D_p\to M$, причому передбачається, що

1. $p,q\in \mathrm{\Gamma }\Rightarrow p\circ q=({\overline{q}}^{-1}(D_p\cap \overline{q}(D_q)),\overline{p}\circ \overline{q})\in \mathrm{\Gamma }$
2. $p\in \mathrm{\Gamma }\Rightarrow p^{-1}=(\overline{p}(D_p),{\overline{p}}^{-1})\in \mathrm{\Gamma }$
3. $(M,id)\in \mathrm{\Gamma }$,
4. якщо $p$ — дифеоморфізм відкритої підмножини $D$ у $M$ і $D={\cup }_{\alpha }{D}_{\alpha }$, де $D_{\alpha }$ — відкриті підмножини в $M$, то $(D,p)\in \mathrm{\Gamma }⟺(D_{\alpha },p)\in \mathrm{\Gamma }$ для будь-якого $\alpha$.

Приклади

• Довільна гладка дія групи на многовиді.
• Нехай $M$ гладкий многовид і на якому гладко діє група $G$ тоді «звуження» дії на довільну відкриту множину $\mathrm{\Omega }$ є псевдогрупою перетворень. Точніше $p=(D_p,\overline{p})$ міститься в псевдогрупі якщо $\overline{p}\in G$ і $D_p,\overline{p}(D_p)\subset \mathrm{\Omega }$.

Зв'язані означення

Так само, як група перетворень, псевдогрупа перетворень визначає на $M$ відношення еквівалентності; класи еквівалентності називаються її орбітами.

Типи псевдогруп

Псевдогрупа перетворень $\mathrm{\Gamma }$ многовида $M$ називається

• транзитивною, якщо $M$ — її єдина орбіта,
• примітивною, якщо у $M$ немає нетривіальних гладких $\mathrm{\Gamma }$-інваріантних шарувань (в іншому випадку псевдогрупа перетворень називається імпримітивною).

Варіації та узагальнення

Видозмінюючи належним чином це означення, можна означити псевдогруппу перетворень довільного топологічного простору або навіть довільної множини.

Література

• Виноградов И. М. (ред.) — Математическая энциклопедия. Том 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1977 — с. 730–732.