Бордизм

«Штани» — бордизм між колом і парою кіл

Бордизм, також бордантність — термін топології, що використовується самостійно або ж у складі стандартних словосполучень в кількох споріднених сенсах. Майже у всіх з них замість бордизма раніше вживали термін кобордизм, попередня термінологія також збереглася.

Неорієнтовані бордизми

Неорієнтовані бордизми — найпростіший варіант бордизмів. Два гладких замкнутих $n$-вимірних многовида $M$ і $M^{\prime }$ бордантні (обмежують, або внутрішньо гомологічні), якщо існує гладкий компактний $(n+1)$-вимірний многовид $W$ (що його називають плівкою), край якого складається з двох многовидів $M$ і $M^{\prime }$, (або точніше многовидів $M_0$ і $M_1$ дифеоморфних, відповідно, $M$ і $M^{\prime }$ через деякі дифеоморфізми $g_0:M\to M_0$ і $g_1:M^{\prime }\to M_1$). Сукупність многовидів, бордантних один одному, називається класами бордизмів, а трійку $(W,M_0,M_1)$ називають бордизмом (точніше було би казати про п'ятірку $(W,M_0,M_1,g_0,g_1)$).

Множина класів бордизмів $n$-вимірних многовидів утворюють абелеву групу ${\mathrm{\Omega }}_n^O$ відносно незв'язного об'єднання, що називають групою бордизмів. Нулем в ній служить клас бордизмів, що складаються з многовидів, які є межею деякого многовиду (інші назви: $M$ — обмежуючий многовид, $M$ — внутрішньо гомологічно, або бордантно нулю). Елементом ${\mathrm{\Omega }}_n^O$ оберненим даному класу бордизмів, є сам цей клас (так як об'єднання двох копій $M$ дифеоморфно межі прямого добутку $M\times [0,1]$). Пряма сума ${\mathrm{\Omega }}_{*}^O$ груп ${\mathrm{\Omega }}_n^O$ є комутативним градуйованим кільцем, множення у якому індуковане прямим добутком многовидів, з одиницею, заданою класом бордизмів точки.

Історія

Перший приклад — бордизм оснащених многовидів, введений в 1938 році Понтрягіним, який показав, що класифікація цих бордизмів еквівалентна обрахуванню гомотопічних груп сфер ${\pi }_i(S^n)$, і таким шляхом зміг знайти ${\pi }_{n+1}(S^n)$ і ${\pi }_{n+2}(S^n)$. Неорієнтовані та орієнтовані бордизми були уведені в 1951—53 роках Рохліним, який обрахував ${\mathrm{\Omega }}_n^{SO}$ для $n⩽4$. Понтрягін довів, що якщо два многовида бордантні, то у них однакові характеристичні числа. Згодом виявилося, що зворотне теж вірно.

Література

• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — М: Мир, 1972. — 280 с.

Див. також

• $h$-кобордизм