Диз'юнктне об'єднання

Неформально кажучи, диз'юнктне об'єднання — це змінена операція об'єднання множин у теорії множин, яка кожний елемент наділяє індексом множини, з якої цей елемент увійшов у об'єднання.

Приклад

Диз'юнктне об'єднання множин $A_0$ = {1, 2, 3} і $A_1$ = {1, 2} обраховується з об'єднання множин:

$\begin{array}{cc}{A}_0^{*}& =\{(1,0),(2,0),(3,0)\}\\ A_1^{*}& =\{(1,1),(2,1)\}.\end{array}$

Таким чином

$A_0\bigsqcup A_1=A_0^{*}\cup A_1^{*}=\{(1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1)\}.$

Визначення

Нехай $\{A_i|i\in I\}$ — сімейство множин, перерахованих індексами з $I$. Тоді диз'юнктним об'єднанням цього сімейства є множина

$\coprod _{i\in I}{A}_i=\bigcup _{i\in I}\{(x,i)|x\in A_i\}.$

Елементи диз'юнктного об'єднання є впорядкованими парами $(x,i)$. Таким чином $i$ є індекс, який показує, з якої множини $A_i$ елемент увійшов у об'єднання. Кожна з множин $A_i$ канонічно вкладена у диз'юнктне об'єднання як множина

$A_i^{*}=\{(x,i)|x\in A_i\}.$

При $\mathrm{\forall }i,j\in I:i\ne j$ множини $A_i^{*}$ и $A_j^{*}$ не мають спільних елементів, навіть якщо $A_i\cap A_j\ne \varnothing$. У виродженому випадку, коли множини $A_i\mathrm{\forall }i\in I$ рівні якійсь конкретній $A$, диз'юнктне об'єднання є декартовим добутком множини $A$ та множини $I$, тобто

$\coprod _{i\in I}{A}_i=A\times I.$

Використання

Іноді можна зустріти позначення $A+B$ для диз'юнктного об'єднання двох множин або наступне для сімейства множин:

$\sum _{i\in I}{A}_i.$

Такий запис означає, що потужність диз'юнктного об'єднання рівна сумі потужностей множин сімейства. Для порівняння, декартовий добуток має потужність, рівну добутку потужностей.

У категорії множин диз'юнктним об'єднанням є пряма сума. Термін диз'юнктне об'єднання також використовується по відношенню об'єднання сімейства множин, які попарно не перетинаються. У цьому випадку диз'юнктне об'єднання позначається, як звичайне об'єднання множин, збігаючись з ним. Таке позначення часто зустрічається в інформатиці. Більш формально, якщо $C$ — це сімейство множин, то

$\bigcup _{A\in C}A$

є диз'юнктним об'єднанням у розглянутому вище сенсі тоді і тільки тоді, коли за будь-яких $A$ та $B$ з $C$ виконується наступна умова:

$A\ne B⟹A\cap B=\varnothing .$

Див. також

• Теорія множин
• Теорія категорій
• Декартовий добуток
• Потужність множини
• Шлях (теорія графів)

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга