Аксіома об'єднання

Шаблон:UniboxАксіомою об'єднання називають таке висловлення теорії множин:

$\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\in d\leftrightarrow \mathrm{\exists }b(b\in a\wedge c\in b))$

Аксіому об'єднання можна сформулювати таким чином: «З будь-якого сімейства $a$ множин $b$ можна утворити як мінімум одну таку множину $d$, кожен елемент $c$ якої належить хоча б одній множині $b$ даного сімейства $a$.»

Інші формулювання аксіоми об'єднання

$\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d(d=\{c:\mathrm{\exists }b(b\in a\wedge c\in b)\})$

$\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\notin d\leftrightarrow \mathrm{\forall }b(b\in a\to c\notin b))$

Примітки

0. В аксіомі об'єднання вказаний тип множин (елементи множин сімейства $a$), які повинні бути елементами множини $d$, що утворюється. Разом з тим, аксіома об'єднання не містить алгоритм знаходження всіх елементів множини $d$, що утворюється.

«Хто винуватий?» — відомо. «Що робити?» — невідомо.

1. Про виведення аксіоми об'єднання.

2. Керуючись аксіомою об'ємності можна довести єдиність сукупності $d$ для кожного сімейства множин $a$. Інакше кажучи, можна довести, що аксіома об'єднання рівносильна такому висловлюванню

$\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }!d\mathrm{\forall }c(c\in d\leftrightarrow \mathrm{\exists }b(b\in a\wedge c\in b))$, що рівносильно $\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d(d=\{c:\mathrm{\exists }b(b\in a\wedge c\in b)\}\wedge \mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }{d}^{\prime }(d^{\prime }\ne d\wedge d^{\prime }=\{c:\mathrm{\exists }b(b\in a\wedge c\in b)\})))$

3. Про аналогію з законом зростання ентропії.

4. Інше

$a=\{a_1,a_2\}\Rightarrow \mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\in d\leftrightarrow \mathrm{\exists }b(b\in \{a_1,a_2\}\wedge c\in b))\iff \mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\in d\leftrightarrow c\in a_1\vee c\in a_2)$

Див. також

• Аксіоматика теорії множин

Джерела

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Куратовский.Мостовский.Теория множеств