Потенціал Пешль — Теллера

Потенціа́л Пешль — Теллера (Шаблон:Lang-en) — це спеціальний вид потенціалів в математичній, квантовій, та молекулярній фізиці, для яких існують точні розв'язки одномірного рівняння Шредінгера у вигляді спеціальних функцій. Потенціал названий на честь угорських фізиків Герти Пешль (Herta Pöschl) та Едварда Теллера (Edward Teller).

Визначення

Потенціал Пешль-Теллера задається у вигляді

$U(x)=-\frac{\lambda (\lambda +1)}{2}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(x)$

При підстановці потенціалу в одновимірне рівняння Шредінгера

$-\frac{1}{2}{\psi }^{″}(x)+U(x)\psi (x)=E\psi (x)$

за допомогою підстановки $u=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}$ отримують

$[(1-u^2){\psi }^{\prime }(u)]+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+\frac{2E}{1-u^2}\psi (u)=0$.

Розв'язком для зв'язаних станів $\psi (\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)})$ будуть функції Лежандра $P_{\lambda }^{\mu }(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)})$, та значення енергії $E_{\lambda ,\mu }=\frac{-{\mu }^2}{2}$, де $\lambda =1,2,3,\dots ,\mu =\lambda ,\lambda -1,\dots ,1$. Більш того, можна точно обчислити і розсіювання частинки на такому потенціалі, тоді для енергій частинки $E_{\lambda ,k}=-\frac{k^2}{2}$ отримаємо аналітичні вирази для хвильових функцій. В тривіальному випадку для $\lambda =0$ отримуємо плоску хвилю ${\psi }_{0,k}^{+}=\exp (ikx)$.

Два наступні вирази для $\lambda =1,2$ запишуться як

${\psi }_{1,k}^{+}=(1+\frac{i}{k}\tanh (x))\exp (ikx)$.

${\psi }_{2,k}^{+}={(1+k^2)}^{-1}(1+k^2+3ik\tanh (x)-3{\tanh }^2(x))\exp (ikx)$.

Це відображає хвилі, що поширюються зліва направо. Дуже цікавою особливістю потенціалів Пешль-Теллера є те, що для цілих значень $\lambda$ хвильові функції не розсіюються на потенціальному бар'єрі, тобто ці потенціали в таких випадках є на 100 % прозорими: коефіцієнт проникнення $T=1$, a відбиття $R=0$.

Див. також

Потенціал Морзе

Література

• Шаблон:Стаття