Картина Гейзенберга

Шаблон:Фізична теорія Картина Гейзенберга — один із методів опису квантовомеханічних явищ. Ідея методу полягає в тому, що залежність від часу переноситься з хвильових функцій на оператори фізичних величин, на відміну від картини Шредінгера, де залежність від часу закладається до хвильових функцій. Така картина дає явну залежність операторів від часу, а хвильові функції залишаються сталими.

Перехід до картини Гейзенберга

Якщо ввести унітарний оператор еволюції $\hat{U}(t,0)$, що діє за правилом:

$|\psi (t)⟩=\hat{U}(t,0)|\psi (0)⟩,$

то можна записати середнє значення деякого оператора $\hat{A}$ в стані $|\psi (t)⟩$ таким чином:

$⟨\hat{A}⟩=⟨\psi (t)|\hat{A}|\psi (t)⟩=⟨\psi (0)|{\hat{U}}^{†}(t,0)\hat{A}\hat{U}(t,0)|\psi (0)⟩\equiv ⟨\psi (0)|{\hat{A}}_H(t)|\psi (0)⟩.$

Таким чином, залежність від часу переноситься з хвильової функції на оператор:

${\hat{A}}_H(t)={\hat{U}}^{†}(t,0)\hat{A}\hat{U}(t,0)$

Рівняння руху для операторів

Якщо записати рівняння Шредінгера:

$i\hslash \frac{\partial |\psi (t)⟩}{\partial t}=\hat{H}|\psi (t)⟩$

і вважати, що гамільтоніан $\hat{H}$ не залежить від часу, то оператор еволюції має такий вигляд:

$\hat{U}(t)=e^{-\frac{i\hat{H}t}{\hslash }}.$

Далі, якщо взяти повну похідну від оператора ${\hat{A}}_H(t)$ за часом, то:

$\frac{d{\hat{A}}_H(t)}{dt}=\frac{\partial {\hat{A}}_H(t)}{\partial t}+\frac{i}{\hslash }\hat{H}{e}^{\frac{i\hat{H}t}{\hslash }}\hat{A}{e}^{-\frac{i\hat{H}t}{\hslash }}-\frac{i}{\hslash }{e}^{\frac{i\hat{H}t}{\hslash }}\hat{A}{e}^{-\frac{i\hat{H}t}{\hslash }}\hat{H}=\frac{\partial {\hat{A}}_H(t)}{\partial t}+\frac{i}{\hslash }\hat{H}{\hat{A}}_H(t)-\frac{i}{\hslash }{\hat{A}}_H(t)\hat{H}.$

Остаточно, якщо записати отриманий вираз через комутатор, маємо рівняння руху для операторів:

$i\hslash \frac{d{\hat{A}}_H(t)}{dt}=i\hslash \frac{\partial {\hat{A}}_H(t)}{\partial t}+[{\hat{A}}_H(t),\hat{H}].$

Якщо оператор ${\hat{A}}_H$ явно не залежить від часу, рівняння руху має вигляд:

$i\hslash \frac{d{\hat{A}}_H}{dt}=[{\hat{A}}_H,\hat{H}],$

звідки можна зробити такий висновок: якщо оператор фізичної величини, який явно не залежить від часу, комутує з гамільтоніаном $\hat{H}$, то відповідна фізична величина зберігається.

Див. також

• Картина Шредінгера
• Картина взаємодії

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга