Рівняння ББГКІ

Рівняння Боголюбова-Борна-Гріна-Керквуда-Івона, скорочено ББГКІ — ієрархічний ланцюжок рівнянь для n-частинкових функцій розподілу класичної системи частинок, що використовується для опису рідин. Кожне з рівнянь ланцюжка отримується усередненням рівняння Ліувіля для функції розподілу всієї системи за координатами та імпульсами $N-n$ частинок, де N - число частинок в системі. Як наслідок, рівняння для n-частинкової функції розподілу містить член із (n+1)-частинковою функцією розподілу.

Формулювання

Функція розподілу системи N класичних частинок, що взаємодіють між собою, $f_N({𝐫}_i,{𝐩}_i,t)$ визначена в 6N-вимірному фазовому просторі. Нехай частинки взаємодіють між собою попарно, і потенціал цієї взаємодії задається функцією $V_{ij}({𝐫}_i,{𝐫}_j)$. Крім того, для загальності, на кожну з частинок може діяти зовнішня сила, потенціал якої задається функцією $U_{ij}({𝐫}_i)$. За теоремою Ліувіля функція розподілу задовольняє рівнянню:

$\frac{\partial f_N}{\partial t}+\sum _{i=1}^N{\dot{𝐫}}_i\frac{\partial f_N}{\partial {𝐫}_i}+\sum _{i=1}^N(-\frac{\partial U_i}{\partial {𝐫}_i}-\sum _{j=1}^N\frac{\partial V_{ij}}{\partial {𝐫}_i})\frac{\partial f_N}{\partial {𝐩}_i}=0.$

Це рівняння можна проінтегрувати по змінних усіх частинок, крім однієї. Тоді в усіх його членах, крім члена з парною взаємодією, з'явиться одночастинкова функція розподілу, а член з парною взаємодією можна буде проінтегрувати по N-2 змінних. При цьому залишиться інтеграл від двочастинкової функції розподілу:

$\frac{\partial f_1}{\partial t}+{\dot{𝐫}}_1\frac{\partial f_1}{\partial {𝐫}_1}-\frac{\partial U_i}{\partial {𝐫}_1}\frac{\partial f_1}{\partial {𝐩}_1}=(N-1)\int \frac{\partial V_{1,2}}{\partial {𝐫}_1}\frac{\partial f_2}{\partial {𝐩}_1}d{𝐫}_{2}d{𝐩}_2.$

Аналогічно, при інтегруванні по змінних усіх частинок, крім двох, вийде рівняння яке міститиме двочастинкову функцію розподілу й інтеграл від тричастинкової функції розподілу. В загальному випадку для n-частинкової функції розподілу:

$\frac{\partial f_n}{\partial t}+\sum _{i=1}^n{\dot{𝐫}}_i\frac{\partial f_n}{\partial {𝐫}_i}+\sum _{i=1}^n(-\frac{\partial U_i}{\partial {𝐫}_i}-\sum _{j=1}^n\frac{\partial V_{ij}}{\partial {𝐫}_i})\frac{\partial f_n}{\partial {𝐩}_i}=\sum _{i=1}^n(N-n)\int \frac{\partial V_{i,n+1}}{\partial {𝐫}_i}\frac{\partial f_{n+1}}{\partial {𝐩}_i}d{𝐫}_{n+1}d{𝐩}_{n+1}.$

Як наслідок виникає ланцюжок рівнянь, у яких n-частинкова функція розподілу зв'язана з (n+1)-частинковою функцією розподілу. Цей ланцюжок рівнянь точний, і розв'язувати його не легше, ніж знаходити розв'язок вихідного рівняння. Однак, зазвичай його обривають, роблячи припущення про залежність наступної функції розподілу від попередніх.

Історія

n-частинкові функції розподілу запровадив Жак Івон у 1935. 1945 року ієрархічний ланцюжок рівнянь отримав Микола Боголюбов. Джон Керквуд розглянув кінетичний транспорт в роботі, поданій у журнал у жовтні 1945 і опублікованій у березні 1946, а також в наступних роботах. Макс Борн та Герберт Грін розглянули загальну кінетику рідин в статті, отриманій редакцією в лютому 1946 і опублікованій в грудні 1946.

Виноски

Шаблон:Physics-stub