Модель Мертона оцінки вартості опціонів

Модель Мертона оцінки вартості опціонів є узагальненням формули Блека-Шоулза для оцінки вартості Європейських опціонів на акції чи індекси акцій які виплачують відомий потік дивідендів. Потік має бути виражений у вигляді річної неперервної ставки $q$.

Формула

Вартість кол-опціону, $C(S,T-t)$, чи опціону пут $P(S,T-t)$ обчислюється за формулою:

$C(S,T-t)=S{e}^{-q(T-t)}\mathrm{\Phi }(d_1)-\mathrm{\Phi }(d_2)K{e}^{-r(T-t)}$

$P(S,T-t)=\mathrm{\Phi }(d_2)K{e}^{-r(T-t)}-S{e}^{-q(T-t)}\mathrm{\Phi }(d_1)$

де

$d_1=\frac{\ln (\frac{S}{K})+(r-q+\frac{{\sigma }^2}{2})(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}$

$d_2=\frac{\ln (\frac{S}{K})+(r-q-\frac{{\sigma }^2}{2})(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}=d_1-\sigma \sqrt{T-t}.$

Тут, log позначає натуральний логарифм, a: $S$ - це ціна базової акції; $K$ - ціна виконання; $r$ - неперервна безризикова відсоткова ставка; $q$ - неперервна річна дивідендна ставка; $T-t$ - час до виконання (в роках); $\sigma$ - волатильність базової акції; $\mathrm{\Phi }$ - функція розподілу стандартної нормальної випадкової величини.

Греки

Грецькі показники — дельта ($\mathrm{\Delta }$), гамма($\mathrm{\Gamma }$), вега ($\nu$), тета ($\mathrm{\Theta }$) і ро ($\mathrm{P}$) для кол-опціону знаходяться за формулою:

$\mathrm{\Delta }=e^{-q(T-t)}\mathrm{\Phi }(d_1)$

$\mathrm{\Gamma }=\frac{\phi (d_1)e^{-q(T-t)}}{S\sigma \sqrt{T-t}}$

$\nu =S{e}^{-q(T-t)}N(d_1)\sqrt{T-t}$

$\mathrm{\Theta }=-\frac{S\phi (d_1)e^{-q(T-t)}\sigma }{2\sqrt{T-t}}+qS{e}^{-q(T-t)}\mathrm{\Phi }(d_1)-rK{e}^{-r(T-t)}\mathrm{\Phi }(d_2)$

$\mathrm{P}=K(T-t)e^{-r(T-t)}\mathrm{\Phi }(d_2)$

де $\phi$ позначає щільність нормального розподілу. Греки для опціону пут обчислюються:

$\mathrm{\Delta }=e^{-q(T-t)}(\mathrm{\Phi }(d_1)-1)$

$\mathrm{\Gamma }=\frac{\phi (d_1)e^{-q(T-t)}}{S\sigma \sqrt{T-t}}$

$\nu =S{e}^{-q(T-t)}N(d_1)\sqrt{T-t}$

$\mathrm{\Theta }=-\frac{S\phi (d_1)e^{-q(T-t)}\sigma }{2\sqrt{T-t}}+qS{e}^{-q(T-t)}\mathrm{\Phi }(d_1)-rK{e}^{-r(T-t)}\mathrm{\Phi }(d_2)$

$\mathrm{P}=-K(T-t)e^{-r(T-t)}\mathrm{\Phi }(-d_2)$

Недоліки формули Мертона

Недоліком формули Мертона є припущення, що дивіденди виплачуються неперервно. Для фондового індексу, це недосконале, але зазвичай розумне припущення. А для звичайних акцій, які зазвичай виплачують дивіденди два рази на рік, це припущення далеке від дійсності. Річна прибутковість акції не має значення. Величина $q$ повинна відображати потік дивідендів, які мають бути здійснені до кінця терміну дії опціону. Якщо дивіденди за акцією не виплачуються до закінчення терміну дії опціону, то $q=0$. В іншому випадку можна обчислити дивідендну прибутковість акції до закінчення терміну дії і перераховувати відповідну річну прибутковість.

Ще однією проблемою є той факт, що модель припускає, що дивідендна прибутковість є відомою і незмінною до закінчення терміну дії опціону. Насправді час виплати дивідендів протягом терміну дії може бути відомим, але сума платежу наперед не відома.

Див. також

• Модель Блека-Шоулза

Посилання

• Шаблон:Cite web

Джерела

• Merton, Robert C. (1973). Theory of rational option pricing, Bell Journal of Economics and Management Science, 4 (1), 141-183. Шаблон:Ref-en