Повторна границя

Для функції декількох змінних $f(x_1,\dots ,x_d)$ можна визначити поняття границі по одній із змінних $x_k$ при фіксованих значеннях інших змінних. У зв'язку з цим виникає поняття повторної границі.

Означення

Розглянемо функцію двох змінних $f(x,y)$, визначену в деякому виколотому околі точки $(x_0,y_0)$. Виберемо і зафіксуємо змінну $x$. Отримаємо функцію як би однієї змінної. Розглянемо границю:

$\phi \left(x\right)=\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)$

Будемо вважати, що $\phi \left(x\right)$ існує. Тепер знімемо фіксацію зі змінної $x$ і розглянемо наступну границю:

$A=\underset{x\to x_0}{\lim }\phi \left(x\right)$

Якщо ця границя існує, то говорять, що $A$ є повторною границею функції $f(x,y)$ в точці $(x_0,y_0)$.

$A=\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)$

Аналогічно ми можемо фіксувати спочатку змінну $y$. У цьому випадку ми також отримаємо повторну границю, але, взагалі кажучи, іншу:

$B=\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)$

Це визначення можна розповсюдити і на функції декількох змінних $f(x_1,\dots ,x_d)$.

Рівність повторних границь

Нехай функція $f(x_1,\dots ,x_d)$, визначена в виколотому околі точки $X^0=(x_1^0,\dots ,x_d^0)$ і має в цій точці границю (звичайну). Тоді будь-яка повторна границя в точці $X^0$ існує і дорівнює звичайній границі цієї функції в цій же точці. У зворотний бік твердження, взагалі кажучи, невірне.

Див. також

• Границя функції в точці

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.