Аргументи максимізації та мінімізації

Аргуме́нт максиміза́ції (argmax або arg max) — значення аргументу, при якому даний вираз досягає максимуму. Іншими словами, $\underset{x}{\mathrm{argmax}}f(x)$ — є значення $x$, при якому $f(x)$ досягає свого найбільшого значення. Є розв'язком задачи максимізації функції скінченної кількості аргументів .

$\underset{x}{\mathrm{argmax}}f(x)\in \{x|\mathrm{\forall }y:f(y)\le f(x)\}$

Аргумент максимізації визначається єдиним чином тоді і лише тоді, коли максимум досягається в єдиній точці: $x_0=\underset{x}{\mathrm{argmax}}f(x)\iff \max f(x)=f(x_0)$

Якщо ж максимум досягається в декількох точках, то argmax може бути розширений до набору розв'язків.

Аргуме́нт мініміза́ції (argmin або arg min) — аргумент, при якому даний вираз досягає мінімуму.

$\underset{x}{\mathrm{argmin}}f(x)\in \{x|\mathrm{\forall }y:f(y)\ge f(x)\}$

Приклади

• $\underset{x\in ℝ}{\mathrm{argmax}}(x(10-x))=5$, так як максимум функції, рівний 25, досягається при $x=5$.
• $\underset{x\in [0,4\pi ]}{\mathrm{argmax}}\cos (x)=\{0,2\pi ,4\pi \}$, так як $\max \cos x=1$ на відрізку $[0,4\pi ]$ досягається при $x=0,2\pi ,4\pi$