Інтеграли Френеля

Інтеграли Френеля S(x) і C(x) — це спеціальні функції, названі на честь Огюстена Жана Френеля, використовуються в оптиці. Вони виникають при розрахунку дифракції Френеля. Визначаються як:

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)dt,C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt.$

Параметричний графік S(x) і C(x) дає криву на площині, що називається спіраль Корню або клотоїда.

Розкладання у ряд

Нормализовані інтеграли Френеля, S(x) и C(x). На цих кривих аргумент підінтегральних тригонометричних функцій дорівнює $\pi t^2/2$, а не $t^2$, як на рисунку вище.

Інтеграли Френеля можуть бути представлені степеневими рядами, що сходяться для всіх x:

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},$

$C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.$

Деякі автори використовують як аргумент тригонометричних підінтегральных функцій $\frac{\pi }{2}{t}^2$. Отримані функції отримуються із означених вище, шляхом стискання графіка по осі Y у $\sqrt{\frac{2}{\pi }}$ разів і розтягненням уздовж осі X у стільки ж разів.

Спіраль Корню

Спіраль Корню (x,y)=(C(t), S(t)). Спіраль прямує до центрів отворів за $t\to +\mathrm{\infty }$.

Шаблон:Основна стаття Спіраль Корню, також відома як клотоїда, — це крива, що є параметричним графіком S(t) від C(t). Спіраль Корню була придумана Марі Альфредом Корню для полегшення розрахунку дифракції у прикладних задачах.

Оскільки,

$C{}^{\prime }(t{)}^2+S{}^{\prime }(t{)}^2={\sin }^2(t^2)+{\cos }^2(t^2)=1,$

то у такій параметризації дотичний вектор має одиничну довжину, тому t є довгою кривою, що вимірюється від точки (0,0). Звідси, дві гілки спіралі мають нескінченну довжину.

Кривина цієї кривої у будь-якій точці пропорційна довжині дуги, що розміщується між цією точкою та початком координат. Завдяки цій властивості вона застосовується в будівництві доріг, оскільки кутове прискорення машини, що рухається по цій кривій з постійною швидкістю, буде залишатися сталим.

Властивості

• C(x) и S(x) — непарні функції x.

• Використовуючи розкладання в ряд, можна побудувати аналітичне продовження інтегралів Френеля на всю комплексну площину. Комплексні інтеграли Френеля виражаються через функцію помилок як

$S(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{4}(\sqrt{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(\sqrt{i}x)+\sqrt{-i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(\sqrt{-i}x))$

$C(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{4}(\sqrt{-i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(\sqrt{i}x)+\sqrt{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(\sqrt{-i}x))$.

• Інтегралы Френеля не виражаються через елементарні функції, окрім часткових випадків. Границя цих функцій при $x\to \mathrm{\infty }$ дорівнює

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos t^{2}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin t^{2}dt=\frac{\sqrt{2\pi }}{4}=\sqrt{\frac{\pi }{8}}.$

Обчислення

Контур, що використовується для обчислення граничного значення інтегралів Френеля.

Границі функцій C и S за $x\to \mathrm{\infty }$ можуть бути знайдені за допомогою інтегрування по контуру. Для цього обраховується контурний інтеграл функції

$e^{-\frac{1}{2}{t}^2}$

по границі сектору на комплексній площині, що утворений віссю абсцис, променем $y=x$, $x⩾0$ і колом з радіусом R з центром на початку координат.

При $R\to \mathrm{\infty }$ інтеграл по дузі прямує до 0, інтеграл по дійсній осі прямує до значення інтегралу Пуасона

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{1}{2}{t}^2}dt=\sqrt{\frac{\pi }{2}},$

і, після деяких перетворень, інтеграл уздовж променя, що залишився, може бути виражений через граничне значення інтегралу Френеля.

Див. також

• Дифракція Френеля
• Функція Доусона
• Узагальнені інтеграли Френеля

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр

Примітки

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. (См. часть 7) Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en

Посилання

• Шаблон:MathWorld Шаблон:Ref-en
• Шаблон:MathWorld Шаблон:Ref-en
• R. Nave, The Cornu spiral Шаблон:Webarchive, Hyperphysics (2002) (Використовуює πt²/2 замість t².) Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite web Шаблон:Ref-en