Задача трьох тіл

Приблизні траєкторії трьох ідентичних тіл, розташованих у вершинах рівнобічного трикутника, якби вони не мали жодної початкової швидкості.

Зада́ча трьох тіл — класична задача небесної механіки, у якій потрібно знайти траєкторії трьох тіл, що притягуються за законом всесвітнього тяжіння. Окремий випадок задачі N тіл.

Формулювання

Уперше задачу трьох тіл сформулював Ісаак Ньютон 1687 року в «Математичних началах натуральної філософії» (Шаблон:Lang-la) як задачу про рух Місяця в гравітаційному полі Сонця й Землі. Класичного вигляду задача набула в працях французького математика Жана д'Аламбера (Шаблон:Lang-fr) 1747 року.

У загальнішому випадку йдеться про будь-які три об'єкти, що перебувають у центральному потенціальному полі одне одного (гравітаційному, електромагнітному тощо).

Формалізація

Рух трьох матеріальних точок у тривимірному просторі під впливом гравітаційного поля.

У будь-який момент часу рух трьох матеріальних точок з масами $m_1,m_2,m_3$ та координатами ${𝐱}_{\mathrm{𝟏}},{𝐱}_{\mathrm{𝟐}},{𝐱}_{\mathrm{𝟑}}\in {ℝ}^3$ задовольняє системі звичайних диференціальних рівнянь другого порядку:

${\ddot{𝐱}}_{\mathrm{𝟏}}=-\frac{G{m}_2}{|{𝐱}_{\mathrm{𝟏}}-{𝐱}_{\mathrm{𝟐}}{|}^3}({𝐱}_{\mathrm{𝟏}}-{𝐱}_{\mathrm{𝟐}})-\frac{G{m}_3}{|{𝐱}_{\mathrm{𝟏}}-{𝐱}_{\mathrm{𝟑}}{|}^3}({𝐱}_{\mathrm{𝟏}}-{𝐱}_{\mathrm{𝟑}})$,

${\ddot{𝐱}}_{\mathrm{𝟐}}=-\frac{G{m}_3}{|{𝐱}_{\mathrm{𝟐}}-{𝐱}_{\mathrm{𝟑}}{|}^3}({𝐱}_{\mathrm{𝟐}}-{𝐱}_{\mathrm{𝟑}})-\frac{G{m}_1}{|{𝐱}_{\mathrm{𝟐}}-{𝐱}_{\mathrm{𝟏}}{|}^3}({𝐱}_{\mathrm{𝟐}}-{𝐱}_{\mathrm{𝟏}})$,

${\ddot{𝐱}}_{\mathrm{𝟑}}=-\frac{G{m}_1}{|{𝐱}_{\mathrm{𝟑}}-{𝐱}_{\mathrm{𝟏}}{|}^3}({𝐱}_{\mathrm{𝟑}}-{𝐱}_{\mathrm{𝟏}})-\frac{G{m}_2}{|{𝐱}_{\mathrm{𝟑}}-{𝐱}_{\mathrm{𝟐}}{|}^3}({𝐱}_{\mathrm{𝟑}}-{𝐱}_{\mathrm{𝟐}})$,

де $G$ — гравітаційна стала. Задача полягає у віднаходженні координат трьох матеріальних точок з відомими початковими масами, координатами й швидкостями в будь-який момент часу.

Історія розв'язання

У загальному випадку точного розв'язку за допомогою інтегралів не існує. Проблема полягає в принциповій неможливості розв'язати диференціальне рівняння 6-го порядку з нерозділеними змінними.

Для окремих випадків знайдено точний розв'язок: Леонардом Ейлером (для колінеарного розташування точок) та Жозефом-Луї Лагранжем (для так званих трикутних точок Лагранжа).

1912 року фінський математик Карл Зундман знайшов аналітичний розв'язок загальної задачі у вигляді збіжного ряду. Однак цей розв'язок непрактичний, оскільки ряд збігається надзвичайно повільно (для застосування в астрономії необхідно обчислити понад 10^8 000 000 членів ряду).

Моделюванням задачі за допомогою чисельних методів знайдено деякі інші часткові розв'язки.

Див. також

• Задача двох тіл
• Гравітаційна задача N тіл
• Гравітаційний маневр

Література

• Ю. В. Александров. Небесна Механіка Шаблон:Webarchive (Глава VI), Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, 2003.
• Шаблон:Книга
• Juhan Frank. Three Body Problem Шаблон:Webarchive, PHYS 7221, Louisiana State University, 2006. Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal

Посилання

• Alain Chenciner, Three body problem Шаблон:Webarchive, Scholarpedia. Шаблон:Ref-en
• Shannon Pauls, 5 Gifs of n-body Orbits (Animation) Шаблон:Webarchive, Scientific American, 30/07/2013. Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal
• Science Magazine. Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem Шаблон:Webarchive. Шаблон:Ref-en