Теорема Пойнтінга

Теорема Пойнтінга (Шаблон:Lang-en) — теорема, що описує закон збереження енергії електромагнітного поля. Теорема була доведена у 1884 році Джоном Генрі Пойнтінгом. Все зводиться до наступної формули:

$\frac{\partial u}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒=-𝐉\cdot 𝐄$,

Де S — вектор Пойнтінга, J — густина струму і E — електричне поле. Густина енергії $u$ (${ϵ}_0$ — електрична стала, ${\mu }_0$ — магнітна стала).

$u=\frac{1}{2}({\epsilon }_0{𝐄}^2+\frac{{𝐁}^2}{{\mu }_0}).$

Теорема Пойнтінга в інтегральній формі:

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{V}{\int }udV+{\oint }_{\partial V}𝐒d𝐀=-\underset{V}{\int }𝐉\cdot 𝐄dV$,

де $\partial V$ — поверхня, що обмежуює об'єм $V$ .

У технічній літературі теорема зазвичай записується наступним чином ($u$ — густина енергії):

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+{\epsilon }_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}+\frac{𝐁}{{\mu }_0}\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}+𝐉\cdot 𝐄=0$,

де ${\epsilon }_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}$ — густина енергії електричного поля, $\frac{𝐁}{{\mu }_0}\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}$ — густина енергії магнітного поля і $𝐉\cdot 𝐄$ — потужність втрат Джоуля на одиницю об'єму.

Доведення

Теорема може бути доведена з допомогою двох рівнянь Максвелла (для простоти вважаємо, що середовище — це вакуум (μ=1, ε=1); для загального випадку з довільним середовищем потрібно у формули до кожного ε₀ і μ₀ приписати ε і μ):

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}.$

Домноживши дві частини рівняння на $𝐁$, отримаємо:

$𝐁\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)=-𝐁\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}.$

Розглянемо спочатку рівняння Максвелла-Ампера:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐉+{ϵ}_0{\mu }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}.$

Домноживши дві частини рівняння на $𝐄$, отримаємо:

$𝐄\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=𝐄\cdot {\mu }_0𝐉+𝐄\cdot {ϵ}_0{\mu }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}.$

Віднявши перше рівняння з другого, отримаємо:

$𝐄\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)-𝐁\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)={\mu }_0𝐄\cdot 𝐉+{ϵ}_0{\mu }_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}+𝐁\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}.$

Нарешті:

$-\mathrm{\nabla }\cdot (𝐄\times 𝐁)={\mu }_0𝐄\cdot 𝐉+{ϵ}_0{\mu }_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}+𝐁\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}.$

Оскільки вектор Пойнтінга $𝐒$ визначається как:

$𝐒=\frac{1}{{\mu }_0}𝐄\times 𝐁$

це рівнозначно:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+{ϵ}_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}+\frac{𝐁}{{\mu }_0}\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}+𝐉\cdot 𝐄=0.$

Узагальнення

Механічна енергія у теоремі визначається як

$\frac{\partial }{\partial t}{u}_m(𝐫,t)+\mathrm{\nabla }\cdot {𝐒}_m(𝐫,t)=𝐉(𝐫,t)\cdot 𝐄(𝐫,t),$

де u_m — кінетична енергія густини у системі. Вона може бути описана як сума кінетичної енергії частинок α

$u_m(𝐫,t)=\sum _{\alpha }\frac{m_{\alpha }}{2}{\dot{r}}_{\alpha }^2\delta (𝐫-{𝐫}_{\alpha }(t)),$

${𝐒}_{𝐦}$ — потік енергії, або «механічний вектор Пойнтінга»:

${𝐒}_m(𝐫,t)=\sum _{\alpha }\frac{m_{\alpha }}{2}{\dot{r}}_{\alpha }^2{\dot{𝐫}}_{\alpha }\delta (𝐫-{𝐫}_{\alpha }(t)).$

Рівняння неперервності енергії, або закон збереження енергії

$\frac{\partial }{\partial t}(u_e+u_m)+\mathrm{\nabla }\cdot ({𝐒}_e+{𝐒}_m)=0,$

Альтернативні форми

Можна отримати й інші форми теореми Пойнтінга. Замість того щоб використовувати вектор потоку $𝐒\propto 𝐄\times 𝐁$ можна вибрати форму Авраама $𝐄\times 𝐇$, форму Мінковського $𝐃\times 𝐁$, або якусь іншу.

Джерела

• Eric W. Weisstein "Poynting Theorem" From ScienceWorld – A Wolfram Web Resource.
• 5.1. ТЕОРЕМА УМОВА - ПОЙНТІНГА, c.91. Основи електродинаміки. Клубіс Я.Д., Шкатуляк Н.М.