Формула Біне — Коші

Формула Біне — Коші — теорема про визначник добутку прямокутних матриць (при умові, що добуток є квадратною матрицею).

Добуток прямокутних матриць $A$ та $B$ є квадратною матрицею розміру $m$ , якщо $A$ має $n$ стовпців та $m$ рядків, а $B$ — навпаки.

Мінори матриць $A$ та $B$ порядку рівного меншому з чисел $n$ та $m$ називаються відповідними один одному, якщо номера стовпців в матриці $A$ однакові з номерами рядків в матриці $B$ .

Теорема

Визначник матриці $A B$ рівний нулю, якщо $n < m$ , або дорівнює сумі попарних добутків відповідних мінорів порядку $m$ , якщо $n ⩾ m$ (сумма береться по всім наборам стовпців матриці $A$ та рядків матриці $B$ зі зростаючими номерами $i_{1} < i_{2} < \dots < i_{m}$ ).

Приклад

Нехай

A = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \\ b_{1} & b_{2} & \dots & b_{n} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n} & b_{n} \end{matrix}) .

Тоді

A B = (\begin{matrix} a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} & a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} \\ a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} & b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2} \end{matrix}),

і відповідні мінори мають вигляд

| \begin{matrix} a_{i} & b_{i} \\ a_{j} & b_{j} \end{matrix} |

для всіх $i < j$ , від $1$ до $n$ .

Формула Біне — Коші в даному прикладі дає рівність

(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2}) - (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n})^{2} = \sum_{i < j} (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i})^{2},

із якої (у випадку дійсних чисел) випливає нерівність Коші — Буняковського:

(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2}) ⩾ (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n})^{2} .

Джерела

Формула Біне — Коші

Теорема

Приклад

Джерела

Навігаційне меню

Пошук