Пропорція (математика)

Приклад пропорції

Пропо́рція (від Шаблон:Lang-la — рівняю) — в математиці рівність двох відношень.
Записується як:

$a:b=c:d$

або як:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

І читається: «a відноситься до b так само, як c відноситься до d».
У пропорції всі члени натуральні. Члени a та d називають крайніми членами пропорції, а b та c — середніми.

Властивості пропорції

Основна властивість

У пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.
Якщо $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, то $ad=bc$
Наприклад,

$\frac{3}{20}=\frac{6}{40}$

$3\times 40=20\times 6=120$

Властивість обернення

У пропорції, якщо переставити місцем перший крайній член із першим середнім членом, а другий середній — із другим крайнім, то знову вийде пропорція.
Якщо $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, то $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$
Наприклад, $\frac{4}{12}=\frac{20}{60}$

$\frac{12}{4}=\frac{60}{20}$

Перевіримо основною властивостю:

$12\times 20=4\times 60=240$

Властивість переставляння

У пропорції, якщо поміняти місцями крайні або середні члени, або і ті і ті, знову вийде пропорція.
Якщо $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, то $\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$, $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$, :$\frac{d}{c}=\frac{b}{a}$
Наприклад, $\frac{5}{6}=\frac{30}{36}$

$\frac{36}{6}=\frac{30}{5}$

$\frac{5}{30}=\frac{6}{36}$

$\frac{36}{30}=\frac{6}{5}$

Перевірімо:

$36\times 5=6\times 30=5\times 36=30\times 6=36\times 5=30\times 6=180$

Властивості додавання і віднімання

Властивість додавання

У пропорції сума першого і другого членів відноситься до першого або другого члена так само, як сума третього і четвертого членів відноситься до третього або четвертого члена.
Якщо $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, то $\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}$, $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
Наприклад:

$\frac{5}{10}=\frac{30}{60}$

$\frac{5+10}{5}=\frac{30+60}{30}=\frac{15}{5}=\frac{90}{30}$

$\frac{5+10}{10}=\frac{30+60}{60}=\frac{15}{10}=\frac{90}{60}$

Перевірімо:

$15\times 30=5\times 90=450$

$15\times 60=10\times 90=900$

Властивість віднімання

У пропорції, якщо перший член більший за другий (і тому третій член більший за четвертий) різниця першого і другого членів відноситься до першого або другого члена так само, як різниця третього і четвертого членів відноситься до третього або четвертого члена.
Якщо $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ (де $a>b$ і $c>d$), то $\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}$, :$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$
Наприклад:

$\frac{50}{15}=\frac{10}{3}$

$\frac{50-15}{50}=\frac{10-3}{10}=\frac{35}{50}=\frac{7}{10}$

$\frac{50-15}{15}=\frac{10-3}{3}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3}$

Перевірмо:

$35\times 10=50\times 7=350$

$35\times 3=15\times 7=105$

Знаходження членів пропорції

Невідомий крайній

Щоб знайти невідомий крайній, достатньо поділити добуток середніх членів на відомий крайній.
Якщо $\frac{x}{a}=\frac{b}{c}$, то $x=\frac{ab}{c}$
Наприклад:

$\frac{x}{6}=\frac{30}{90}$

$x=\frac{6\times 30}{90}=\frac{180}{90}=2$

Невідомий середній

Щоб знайти невідомий середній, достатньо добуток крайніх членів поділити на відомий середній.
Якщо $\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$, то $x=\frac{ac}{b}$
Наприклад:

$\frac{15}{x}=\frac{30}{10}$

$x=\frac{15\times 10}{30}=\frac{150}{30}=5$

Невідомий середній, якщо середні члени однакові

Щоб знайти невідомий середній, якщо середні члени однакові, достатньо знайти квадратний корінь добутку крайніх членів.
Якщо $\frac{a}{x}=\frac{x}{b}$
, то $x=\sqrt{ab}$
Наприклад:

$\frac{6}{x}=\frac{x}{600}$

$x=\sqrt{6\times 600}=\sqrt{3600}=60$

Як знаходити невідомі середній і крайній

Як знаходити невідомі середній і крайній, знаючи суму відомих середнього і крайнього

Достатньо додати відомі члени, потім знайти такі числа, до якого сума невідомих членів відноситься так само, як сума відомих членів до кожного з них:
Якщо $\frac{a}{b}=\frac{x}{y}$, то:

• $x=\frac{(x+y)a}{a+b}$
• $y=\frac{(x+y)b}{a+b}$

Наприклад:

$\frac{10}{12}=\frac{x}{y}$, де $x+y=66$

$10+12=22$

$x=\frac{66\times 10}{22}=\frac{660}{22}=30$

$y=\frac{66\times 12}{22}=\frac{792}{22}=36$

Як знаходити невідомі середній і крайній, знаючи різницю відомих середнього і крайнього

Достатньо відняти відомі члени, потім знайти такі числа, до якого різниці невідомих членів відноситься так само, як різниця відомих членів до кожного з них:
Якщо $\frac{a}{b}=\frac{x}{y}$, то:

• $x=\frac{(x-y)a}{a-b}$
• $y=\frac{(x-y)b}{a-b}$

Наприклад:

$\frac{15}{9}=\frac{x}{y}$, де $x-y=12$

$15-9=6$

$x=\frac{12\times 15}{6}=\frac{180}{6}=30$

$y=\frac{12\times 9}{6}=\frac{108}{6}=18$

Пропорційні величини

Прямо пропорційні величини

Уявімо, що ми купили 1 кг яблук і заплатили 8 грн. Якщо ми купимо 2 кг, то заплатимо 16 грн., якщо 3 — то 24 грн. і т. д.
Маса наших яблук завжди так само відноситься до кошту. Якщо поїзд рухається зі швидкостю 30 км/год, то за 2 години він проїде 60 км, за 3 — 90 км і т. д.

Маса яблук і кошт, або час, за який рухається поїзд, називають прямо пропорційними величинами. Взагалі, дві величини прямо пропорційні, коли, якщо збільшити або зменшити в певну кількість раз першу, то друга збільшується або зменшується в стільки раз, тобто ці величини можна записати як

$x=ky$

де k — коефіцієнт пропорційності.

Обернено пропорційні величини

Очевидно, що чим більше людей думають про те, щоб прибрати в будинку, тим менше часу треба буде. Якщо самому треба 10 год, то вдвох — 5 год, в трьох — 3¹/₃ год і т. д. Кількість людей, які прибирають, і час, — обернено пропорційні величини. Дві величини обернено пропорційні, якщо, коли помножити на якесь число першу, то друга помножиться на обернений дріб.

Див. також

• Співвідношення
• Пропорція (архітектура)
• Відношення
• Рівняння
• Частка
• Доля

Література

• М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике», М., 1974

Посилання

• Динамічні математичні моделі FIZMA.neT