Модель Зінера

Реологічна модель стандартного лінійного тіла (модель Зінера)

Моде́ль Зі́нера (модель стандартного лінійного тіла) — реологічна модель лінійного в'язкопружного тіла, що складається з двох пружних елементів E₁ і E₂ та в'язкого елемента η. Для опису властивостей в'язкопружних тіл часто використовуються модель Максвелла і модель Кельвіна-Фойгта . Цих моделей часто виявляється недостатньо. Так модель Максвелла не описує повзучості а модель Кельвіна-Фойгта не описує релаксацію напружень. Модель Зінера є найпростішою моделлю, яка передбачає ці явища.

Основні характеристики

Елементи сполучені, як показано на рисунку. Модель складається з двох паралельно сполучених систем. Перша є моделлю Максвелла, що містить пружину ($E=E_2$) і в'язкий елемент із в'язкістю $\eta$, сполучених послідовно. Друга гілка складається з однієї пружини ($E=E_1$).

Математичний опис моделі

Для кожного пружного елемента запишемо закон Гука, а для в'язкого — закон в'язкого тертя Ньютона. Разом з умовами розподілу напружень (σ) і деформацій (ε) запишемо для моделі чотири рівняння:

${\sigma }_1=E_1{ϵ}_1$;

${\sigma }_2=E_2{ϵ}_2=\eta \dot{{ϵ}_{\eta }}$;

$\sigma ={\sigma }_1+{\sigma }_2$;

$ϵ={ϵ}_1={ϵ}_2+{ϵ}_{\eta }$;

Використовуючи ці співвідношення, їх похідні по часу, система може бути описана наступним рівнянням:

$\frac{d\epsilon (t)}{dt}=\frac{\frac{E_2}{\eta }(\frac{\eta }{E_2}\frac{d\sigma (t)}{dt}+\sigma (t)-E_1\epsilon (t))}{E_1+E_2}$

Це рівняння також може бути подане у вигляді:

$\frac{d\epsilon (t)}{dt}={(E_1+E_2)}^{-1}\cdot [\frac{d\sigma (t)}{dt}+\frac{E_2}{\eta }\sigma (t)-\frac{E_1{E}_2}{\eta }\epsilon (t)]$

Час релаксації, $\tau$, є властивістю кожного матеріалу і визначається відношенням:

$\frac{\eta }{E_2}=\tau$

Застосування моделі

Модель лінійного в'язкопружного тіла поєднує в собі властивості моделей Максвелла і Кельвіна-Фойгта, що дає можливість точніше описати загальну поведінку системи в заданих умовах навантаження. Поведінка матеріалу в умовах швидкого прикладання навантаження характеризуватись миттєвим значенням деформації. Зростання швидкості прикладання навантаження супроводжується зменшенням залишкової деформації при руйнуванні, що модель і описує. Форма кривої часової залежності деформації також вірно описується моделлю у залежності від швидкості прикладання навантаження.

Хоча ця модель може бути використана для точного прогнозування загальної форми кривої деформації, а також поведінку матеріалу протягом тривалого у часі чи миттєвого прикладання навантаження, модель не описує ці властивості кількісно.

Див. також

• Модель Кельвіна — Фойгта
• Модель Максвелла

Джерела

• Бартенев Г. М. Физика полимеров / Г. М. Бартенев, С. Я. Френкель; под ред. д-ра физ.-мат наук А. М. Ельяшкевича. — Л.: Химия, 1990. — 432 с. — ISBN 5-7245-0554-1. Шаблон:Ref-ru
• Рейнер М. Реология / М. Рейнер. — Москва: Наука, 1965. — 224 с. — (Пер. с англ.). Шаблон:Ref-ru
• Шульман 3. П. Беседы о реофизике. — Минск: Наука и техника, 1976. — 96 с. Шаблон:Ref-ru