Полярний момент інерції

Поля́рний моме́нт іне́рції — геометрична характеристика плоскої фігури, що визначається як сума (інтеграл) добутків площ елементарних площинок dA на квадрат відстані їх від полюса — ρ² (у полярній системі координат), взята по всій площі перерізу. Тобто:

J_{0} = \iint_{A} ρ^{2} d A .

Ця величина використовується для прогнозування здатності об'єкта чинити опір крученню. Вона має розмірність четвертого степеня одиниці довжини (м⁴, см⁴) і може бути лише додатною.

Для площі перерізу, що має форму кола радіусом r:

J_{0} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{r} ρ^{2} ρ d ρ d ϕ = \frac{π r^{4}}{2}

Зрозуміло: якщо сумістити початок декартової прямокутної системи координат із полюсом полярної системи (див. рис.), то

J_{0} = J_{x} + J_{y}

тому що

ρ^{2} = x^{2} + y^{2}

.

Застосування

Полярний момент інерції застосовується у формулах, які описують залежність між дотичними напруженнями та крутним моментом, що їх викликає дотичне напруження:

τ = \frac{T r}{J_{0}}

де $T$ — крутний момент, $r$ — відстань від осі кручення і $J_{0}$ — полярний момент інерції. Шаблон:Main