Відрізок

Геометричне визначення замкненого лінійного відрізка: перетин усіх точок праворуч від A з усіма точками лівіше від B, включаючи самі точки A і B

Історичне зображення — малювання лінійного відрізка (1699)

Відрізок — частина прямої, обмежена двома точками.

Визначення

Якщо $V$ векторний простір над $ℝ$ або $ℂ$, і $L$ це підмножина $V,$ тоді $L$ відрізок якщо $L$ може бути заданий як

$L=\{𝐮+t𝐯\mid t\in [0,1]\}$

для деякого вектора $𝐮,𝐯\in V$, в такому випадку вектори $𝐮$ та $𝐮\mathbf{+}𝐯$ називаються кінцевими точками відрізка $L.$

Іноді нам потрібно розрізняти «відкриті» та «закриті» відрізки. Тоді закритий відрізок визначається як було вказано вище, а відкритий відрізок як підмножина $L$, параметризована як

$L=\{𝐮+t𝐯\mid t\in (0,1)\}$

для деяких векторів $𝐮,𝐯\in V$.

Альтернативне визначення таке: Відрізок (замкнутий) це опукла оболонка двох точок.

Відрізок числової прямої

Відрізок числової (координатної) прямої (числовій відрізок, сегмент) — множина дійсних чисел $x$, таких що задовольняють нерівності $a\le x\le b$, де заздалегідь завдані дійсні числа $a$ і $b$ $(a<b)$ називаються кінцями відрізка. На противагу до них, інші числа $x$, що задовольняють нерівності $a<x<b$, називаються внутрішніми точками відрізка.

Відрізок зазвичай позначається $[a,b]$:

$[a,b]=\{x\in ℝ\mid a\le x\le b\}$.

Відрізок є замкнутим проміжком.

Число $b-a$ називається довжиною числового відрізка $[a,b]$.

Стяжна система сегментів

Система сегментів — нескінченна послідовність елементів множини відрізків на числовій прямій $\{[a,b]|a,b\in ℝ\wedge a<b\}$.

Система сегментів позначається $\{[a_n,b_n]{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$. Мається на увазі, що кожному натуральному числу $n$ зіставлений у відповідність відрізок $[a_n,b_n]$.

Система сегментів $\{[a_n,b_n]{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ називається стяжною, якщо

• кожний наступний відрізок міститься в попередньому;

  $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n]$

• відповідна послідовність довжин відрізків нескінченно мала.

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(b_n-a_n)=0$

В будь-якій стяжній системі сегментів існує єдина точка, що належить всім сегментам системи.

$\mathrm{\forall }\{[a_n,b_n]{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\exists }!c\in ℝ\mathrm{\forall }n\in N:c\in [a_n,b_n]$

Цей факт випливає з властивостей монотонної послідовності.

Див. також

• Проміжок
• Пряма
• Промінь
• Інтервал
• Напівінтервал
• Віддаль між двома точками

Література

• Harry F. Davis & Arthur David Snider (1988) Introduction to Vector Analysis, 5th edition, page 1, Wm. C. Brown Publishers ISBN 0-697-06814-5
• Matiur Rahman & Isaac Mulolani (2001) Applied Vector Analysis, pages 9 & 10, CRC Press ISBN 0-8493-1088-1
• Eutiquio C. Young (1978) Vector and Tensor Analysis, pages 2 & 3, Marcel Dekker ISBN 0-8247-6671-7