Модель Леслі

Модель Леслі — дискретна модель динаміки популяції яка враховує її вікову структуру.

Розіб'ємо популяцію на n вікових груп. Спосіб розбиття зазвичай визначається біологічними особливостями організмів, та специфікою задачі. Кожна вікова група має різні ймовірності виживання, та плодовитість.

Нехай $x_i(t),i=\overline{1,n}$ — чисельність і-тої вікової групи (якщо не враховувати поділ на статі). Якщо поділ на статі істотний, то беруть чисельність самок, (вони зазвичай є вузьким місцем приросту). Змінна t враховує дискретні зміни часу (покоління).

Для зручності складемо всі чисельності в вектор вікової структури $X=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T$.

Вважатимемо, що функція народжуваності та функції, що характеризують перехід з однієї вікової структури в іншу є лінійними функціями.

Чисельність кожної з вікових груп описується співвідношенням

$x_1(t+1)=\sum _{i=1}^n{b}_i{x}_i(t)$ (чисельність наймолодшої вікової групи — сумарна народжуваність від всіх вікових груп попереднього покоління)

$x_{i+1}(t+1)=S_i{x}_i(t)i=\overline{1,n-1}$

Коефіцієнти $b_i$ називаються коефіцієнтами народжуваності, коефіцієнти $S_i(0<S_i\le 1)$ визначають частку осіб i-того віку, які доживають до наступного.

Запишемо всі коефіцієнти в матрицю, яка називається матрицею Леслі:

$L=\left[\begin{array}{ccccc}{b}_1& b_2& \dots & b_{n-1}& b_n\\ S_1& 0& \dots & 0& 0\\ 0& S_2& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & S_{n-1}& S_n\end{array}\right]$

Тепер вищенаведені співвідношення можна записати матричним рівнянням:

$X(t+1)=LX(t)$

Якщо початковий розподіл чисельності дорівнює $X(0)$, то для дискретного часу t, маємо рівняння:

$X(t)=L^{t}X(0)$,

яке визначає вектор X(t) в будь-який момент часу після початкового.

Посилання

1. Шаблон:Книга