Лема Морса

Лема Морса — твердження, яке описує будову ростка гладкої дійсної функції у невиродженій критичній точці. Названа на честь видатного американського математика Марстона Морса.

Шаблон:Рамка Нехай $f:{ℝ}^n\to ℝ$ — функція класу $C^{r+2}$, де $r\ge 1$, що має точку $0\in {ℝ}^n$ своєю невиродженою критичною точкою, тобто в цій точці диференціал $\frac{\partial f}{\partial x}$ овертається в нуль, а матриця Гессе $\left|\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\right|$ відмінна від нуля. Тоді в деякому околі $U$ точки $0$ існує така система $C^r$-гладких локальних координат (карта) $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ з початком у точці $0$, що для всіх $x\in U$ має місце рівність

$f(x)=f(0)-x_1^2-\dots -x_k^2+x_{k+1}^2+\dots +x_n^2$.

Шаблон:/рамка При цьому число $k$, що визначається сигнатурою квадратичної частини ростка $f$ в точці $0$, є індексом Морса критичної точки $0$ функції $f$.

Доведення

Линійна частина функції $f(x)$ в точці $0$ рівна нулю, а квадратична частина невирождена. Зробимо лінійну заміну змінних $(x_1,\dots ,x_n)$, що зводить квадратичну частину до канонічного вигляду $x_1^2-\dots -x_k^2+x_{k+1}^2+\dots +x_n^2$.

Потім, двічі застосовуючи лему Адамара, представимо $f(x)$ у вигляді

$f(x)=f(0)-x_1^2(1+h_1(x))-\dots -x_k^2(1+h_k(x))+x_{k+1}^2(1+h_{k+1}(x))+\dots +x_n^2(1+h_n(x))$,

де всі $h_i(x)$ — функциї класу $C^r$, що обертаються в нуль в точці $0$. Заміна змінних $x_i\to x_i\sqrt{1+h_i(x)}$, що визначена у деякому околі точки $0$, приводить $f(x)$ до необхідної форми.

Варіації та узагальнення

• Теорема Тужрона.

В околі критичної точки $0$ скінченної кратності $\mu$ існує система координат, в якій гладка функція $f(x)$ має вигляд многочлена $P_{\mu +1}(x)$ ступеня $\mu +1$ (як $P_{\mu +1}(x)$ можна взяти многочлен Тейлора функції $f(x)$ у точці $0$ у вихідних координатах). У разі невиродженої критичної точки кратність $\mu =1$, і теорема Тужрона перетворюється на лему Морса.

• Лема Морса з параметрами або лема про розщеплення особливості.

Нехай $f(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m):{ℝ}^{n+m}\to ℝ$ — гладка функція, що має початок координат $0$ своєю критичною точкою, невиродженою за змінними $x_1,\dots ,x_n$. Тоді в околі точки $0$ існують гладкі координати, в яких

$f(x,y)={\alpha }_1{x}_1^2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n^2+f_0(y_1,\dots ,y_m),{\alpha }_i=\pm 1,$

де $f_0$ — деяка гладка функція. Це твердження дозволяє звести дослідження особливості (критичної точки) функції від $n+m$ змінних до дослідження особливості функції від меншого числа змінних (а саме, від числа змінних, рівного корангу гессіана вихідної функції).

Джерела

• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Будь-яке видання.
• Хирш М. Дифференциальная топология, — Будь-яке видання.
• Takens F. A note on sufficiency of jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, no 3, 1971, pp. 225—231.
• Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63–69.
• Даринский Б.М., Сапронов Ю.И., Царев С.Л. Бифуркация экстремалей фредгольмовых функционалов, — СМФН, 12, М., 2004, стр. 3–140.