Тест Левене

У статистиці, Тест Левене — це статистика, яку використовують для оцінювання рівності дисперсій декількох вибірок. Він перевіряє нульову гіпотезу про рівність дисперсій вибірок (гомогенність дисперсії, або гомоскедастичність). Якщо p-значення тесту Левене менше певного критичного значення (зазвичай 0,05 або 0,01), то наявну різницю дисперсій вважають статистично значущою. Тому нульову гіпотезу про рівність дисперсій всіх вибірок відкидають і роблять висновок, що їх дисперсії є різними.

До процедур, що вимагають припущення про гомогенність дисперсії, належать дисперсійний аналіз та t-критерій Стьюдента. Однією з переваг тесту Левене є те, що цей тест не вимагає нормального розподілу досліджуваних вибірок.

Тест часто використовується перед порівнянням математичних сподівань.

Формальна специфікація

Тест Левене використовують для перевірки нульової гіпотези $H_0$ проти альтернативної гіпотези $H_1$.

$H_0:{\sigma }_1={\sigma }_2=\dots ={\sigma }_{k}vs{H}_1:{\sigma }_i\ne {\sigma }_j$ принаймні для однієї пари $(i,j)$.

Тестова статистика визначена наступним чином:

$W=\frac{(N-k)}{(k-1)}\frac{\sum _{i=1}^k{N}_i(Z_{i\cdot }-Z_{\cdot \cdot }{)}^2}{\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{N_i}(Z_{ij}-Z_{i\cdot }{)}^2},$

де

• $W$ — значення Статистики,
• $k$ — кількість різних груп до яких належать вибірки,
• $N$ — загальна кількість спостережень,
• $N_i$ — кількість спостережень в $i$-й групі,
• $Y_{ij}$ — значення $j$-го спостереження $i$-ї групи,
• $Z_{ij}=\{\begin{array}{c}|Y_{ij}-{\overline{Y}}_{i\cdot }|\\ |Y_{ij}-{\tilde{Y}}_{i\cdot }|\end{array}$

Тут ${\overline{Y}}_{i\cdot }$ — математичне сподівання i-ї групи, а ${\tilde{Y}}_{i\cdot }$ — медіана i-ї групи. (Обидва означення використовуються, хоча друге означення насправді Тест Брауна-Форсі)

• $Z_{\cdot \cdot }=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{N_i}{Z}_{ij}$ математичне сподівання всіх $Z_{ij}$,
• $Z_{i\cdot }=\frac{1}{N_i}\sum _{j=1}^{N_i}{Z}_{ij}$ математичне сподівання $Z_{ij}$ для групи з номером $i$.

Значущість статистики $W$ тестують використовуючи $F(\alpha ,k-1,N-k)$ (квантиль рівня $\alpha$ розподілу Фішера), де $F$ — квантиль розподілу фішера, з $k-1$ і $N-k$ ступенями свободи, $\alpha$ — обраний рівень надійності тесту (зазвичай 0.05 чи 0.01).