Ядро (статистика)

Ядро або ядрова функція — це вагова функція, що використовується в непараметричних методах оцінки. Ядра використовуються при ядерній оцінці щільності розподілу для оцінки густини випадкової величини, чи в ядерній регресії для оцінки умовного математичного сподівання випадкової величини. Ядра також використовуються в часових рядах як переіодограми для оцінки спектральної щільності. Додаткового використання ядра набули в оцінці інтенсивності точкового процесу зміної в часі.

Визначення

Ядром називається невід'ємна дійснозначна інтегровна функція K, яка задовольняє дві наступні властивості:

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}K(u)du=1;$
• $K(-u)=K(u)\mathrm{\forall }u.$

Перша умова гарантує, що метод ядерної оцінки щільності розподілу дійсно дає густину випадкової величини. Друга — гарантує, що середнє значення знайденого розподілу дорівнює середньому значенню вибірки для якої оцінюють густину.

Якщо K — ядро, тоді функція K* визначена таким чином K*(u) = λ⁻¹K(λ⁻¹u), де λ > 0 також є ядерною функцією. Цю властивість можна використати для вибору масштабу максимально узгодженого з даними.

Використання ядер

Звичайно використовують кілька видів ядрових функцій: рівномірну, трикутну, Епанечнікова, Четвертинну (двоточкову), кубічну (триточкову), Гауса та косинусну.

В таблиці нижче, 1_{…} — характеристична функція.

Ядрові функції, K(u)			$\int u^{2}K(u)du$	$\int K^2(u)du$
Рівномірна	$K(u)=\frac{1}{2}{\mathrm{𝟏}}_{\{|u|\le 1\}}$		$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$
Трикутна	$K(u)=(1-|u|){\mathrm{𝟏}}_{\{|u|\le 1\}}$		$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$
Епанечнікова	$K(u)=\frac{3}{4}(1-u^2){\mathrm{𝟏}}_{\{|u|\le 1\}}$		$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$
Четвертинна (двоточкова)	$K(u)=\frac{15}{16}(1-u^2{)}^2{\mathrm{𝟏}}_{\{|u|\le 1\}}$		$\frac{1}{7}$	$\frac{5}{7}$
Кубічна (триточкова)	$K(u)=\frac{35}{32}(1-u^2{)}^3{\mathrm{𝟏}}_{\{|u|\le 1\}}$		$\frac{1}{9}$	$\frac{350}{429}$
Гауса	$K(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{u}^2}$		$1$	$\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$
Косинус	$K(u)=\frac{\pi }{4}\cos \left(\frac{\pi }{2}u\right){\mathrm{𝟏}}_{\{|u|\le 1\}}$		$1-\frac{8}{{\pi }^2}$	$\frac{{\pi }^2}{16}$
Логістичне	$K(u)=\frac{1}{e^u+2+e^{-u}}$		$\frac{{\pi }^2}{3}$	$\frac{1}{6}$
Сигмоїда	$K(u)=\frac{2}{\pi }\frac{1}{e^u+e^{-u}}$		$\frac{{\pi }^2}{4}$	$\frac{2}{{\pi }^2}$
Ядро Сільвермана	$K(u)=\frac{1}{2}{e}^{-\frac{|u|}{\sqrt{2}}}\cdot \sin (\frac{|u|}{\sqrt{2}}+\frac{\pi }{4})$		$0$	$\frac{3\sqrt{2}}{16}$

Графіки вищенаведених функцій

Див. також

• Ядерна оцінка щільності розподілу

Джерела

• Шаблон:Cite book

Посилання

• Kernel Basis function Шаблон:Ref-en (з малюнками).